Borne sup atteinte?

[prepamath]

Bonjour à tous,

Soit f : R -> R, continue, telle que pour tout x dans R, t->xt - f(t) majorée.

Soit Ex = { t réels tels que xt - f(t) = sup (xt - f(t)) }
_____________________________ t dans R

Montrer que Ex non vide et bornée.

Je n'arrive pas à prouver cela et je peine à y croire... on sait juste que t->xt - f(t) majorée et continue, je ne vois pas pourquoi elle atteindrait sa borne sup, en pensant à th par exemple...

Merci pour votre aide.

[siro]

si tu prends th c'est pas borné xt-f(t) ; si x = 1, par exemple... (ni majoré ni minoré ; en - l'infini pour tout x positif strictement ça donne + l'infini)

Le point c'est que c'est pour TOUTES les fonctions linéaires t -> xt qu'on a la majoration, ce qui est une restriction assez forte.

[matmeca_mcf1]

Sais-tu montrer le résultat suivant (ou ce résultat est-il au programme)?

Soit $ g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} $ continue telle que
$$
\lim\limits_{t\to+\infty}g(t)=-\infty\\
\lim\limits_{t\to-\infty}g(t)=-\infty\\
$$
Alors, $ g $ est majorée et il existe $ t_0 $ tel que $ g(t_0)=\sup_{t\in\mathbb{R}}g(t) $.

[prepamath]

Merci !