Cette suite me rend fou

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Cette suite me rend fou

Message par flo09 » 28 févr. 2018 17:00

Je bloque sur cette question depuis plusieurs jours:

On considère la fonction f définie sur ]0;+∞[ par:

f(1)=1 et f(x)=((x+1)/(x-1))*((ln(x)/2) si x est différent de 1

La question est :
Soit a un réel supérieur à 1
-Montrer qu'il existe une suite x(n) de réels vérifiant x()0=a et pour tout entier n supérieur ou égal à 0 x(n+1)=f(x(n))
-Montrer que cette suite est décroissante et qu'elle admet une limite l que l'on précisera.


Pour la première partie j'ai montré que pour tout entier n x(n)>0
Pour la deuxième partie,j'arrive à montrer que x(n+1)<x(n) seulement quand x(n)>1
Pour le calcul de l je trouve 1

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Re: Cette suite me rend fou

Message par bullquies » 28 févr. 2018 19:29

si x(n)>1, est-ce que x(n+1) peut être <= 1 ? J'ai graphé et on dirait que non
The Axiom of Choice is obviously true, the Well-Ordering Principle is obviously false, and nobody knows about Zorn's Lemma. - Jerry Bona

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Re: Cette suite me rend fou

Message par flo09 » 28 févr. 2018 20:30

Je m'en étais également rendu compte mais comment le prouver?
Quand je tente de faire une récurrence et que je suppose que x(n)>1 je peut juste trouver que x(n+1)>0
Et je vois pas d'autre façon pour prouver que x(n)>1 pour tout n

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Re: Cette suite me rend fou

Message par oty20 » 28 févr. 2018 20:48

ou est ce que tu bloques spécifiquement ?
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .

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Re: Cette suite me rend fou

Message par flo09 » 02 mars 2018 13:32

Le problème c'est que je ne sais pas montrer que la suite x(n) est décroissante quand x(n) est inférieur à 1 ou que pour toute valeur de n x(n) est supérieur à 1

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Re: Cette suite me rend fou

Message par matmeca_mcf1 » 02 mars 2018 13:34

As-tu fais l'étude de fonction de f pour x>=1? Qu'est ce que cela donne?
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP) filière matmeca
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.

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Re: Cette suite me rend fou

Message par flo09 » 02 mars 2018 15:20

f est croissante sur ]0,11,plus infini[

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Re: Cette suite me rend fou

Message par matmeca_mcf1 » 02 mars 2018 15:49

Ton intervalle est bizarre. Mais tu as réussi à montrer que $ f $ est croissante sur $ ]1,+\infty[ $ ? Et tu as que $ f $ est continue en $ 1 $ et que $ f(1)=1 $? Il ne reste plus rien à faire, c'est fini. Comment as-tu montré la croissance de $ f $ sur $ ]1,+\infty[ $ ?
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Re: Cette suite me rend fou

Message par flo09 » 02 mars 2018 18:47

Ah oui pardon l'intervalle c'est ]0,1[ U ]1,plus infini[
J'ai montré la croissance en faisant la dérivée (impossible pour une suite)

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Re: Cette suite me rend fou

Message par matmeca_mcf1 » 02 mars 2018 19:08

Tu es-sûr pour la croissance sur ]0,1[? As-tu calculé la limite de f en 0?

Sinon, je suis d'accord que f est strictement croissante sur $ ]1,+\infty[ $. Vois-tu pourquoi cela permet de conclure que $ f(x)>1 $ quand $ x>1 $.
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