Théorème de convergence dominée

[Samuel.A]

Bonjour
Voilà je me demandais si ces hypothèses étaient suffisantes pour appliquer le théorème de convergence 'dominé' :
Sur R, on a la suite de fonctions fn continues par morceaux convergeant simplement vers f continue par morceaux ET intégrable
(Pas vraiment d'hypothèse de domination donc)

Ma question est : peut on en déduire que (pour n assez grand disons) fn est intégrable et que l'on peut intervertir le limite n∞ et l'intégrale ?

Merci beaucoup !

[matmeca_mcf1]

Non, on ne peut pas. Le résultat est faux sans domination. Prends la suite de fonctions:
$$
f_n\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\\
x\mapsto\begin{cases}
n(1-n\lvert1/n-x\rvert)&\text{si $x\in [0,2/n]$}\\
0&\text{sinon}
\end{cases}
$$
La suite converge simplement vers la fonction nulle mais l'intégrale des $ f_n $ est constante et vaut 1. Les $ f_n $ sont juste des fonctions chapeaux.

Sinon hors-programme

SPOILER:

Ce sont les hypothèses de continuité par morceaux que l'on peut enlever avec l'intégrale de Lebesgue et la théorie de la mesure mais c'est hors-programme en prépa.

[Samuel.A]

Ok merci beaucoup !

[oty20]

L'idée même du TCD est la domination , réduire le secteur ou les fn varient .

[BobbyJoe]

La condition minimale (en mesure finie) pour avoir la convergence $L^{1}$ est bien connue mais dépasse de très loin le programme de prépa...
L'hypothèse de domination implique l'une des conditions minimales pour avoir le tcd abstrait mais c'est une autre histoire ^^

[kakille]

Bon ben là, tu en as trop dit ou pas assez.

[BobbyJoe]

Convergence en mesure + uniforme intégrabilité est équivalent à la convergence $L^{1}.$

[Samuel.A]

Est il nécessaire de connaitre le théorie de la mesure ou l'intégrale de Lebesgue pour pouvoir prouver le TCD dans le cadre de l'intégration de Riemann ? (Parce que étonnamment c'est un des rares théorèmes que l'on ne démontre pas cette année)

[oty20]

Dans le site de Mr Alain troesch , tu trouveras un sujet de ds ou s'agit de démontrer le théorème de convergence dominée si tu es intéressé par une preuve niveau Mp\Mpsi .