Oral X

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Re: Oral X

Message par kakille » 06 mars 2018 11:47

Au temps pour moi, c'est le titre du fil... :lol:
"[...] On dira que le nombre $ L $ est limite de cette suite, si, pour tout nombre réel donné $ \varepsilon $, si petit soit-il, il existe un nombre entier $ n $ tel que l'ont ait $ |L−S_n|<\varepsilon $."

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Re: Oral X

Message par matmeca_mcf1 » 06 mars 2018 12:15

EDIT: Traitement du cas commutatif (solution):
SPOILER:
Dans le cas commutatif, on va avoir, car les différents facteurs commutent tous, que
$$
\lVert E_n-\exp(\int_{0}^{1}A(t)\mathrm{d}t)\rVert
=
\lVert\prod_{k=1}^{n}(I_d+\frac{1}{n}A(\frac{k}{n}))-
\prod_{k=1}^{n}\exp(\int_{\frac{k-1}{N}}^{\frac{k}{N}}A(t)\mathrm{d}t)\rVert\\
\leq\sum_{J=1}^{n}
\prod_{k=1}^{J-1}(1+\frac{1}{n}\lVert A(\frac{k}{n})\rVert)
\times
\lVert (1+A(\frac{J}{N})- \exp(\int_{\frac{J-1}{n}}^{\frac{J}{n}}A(t)\mathrm{d}t)\rVert
\times
\prod_{k=J+1}^{n}\exp(\int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}}\lVert A(t)\rVert\mathrm{d}t)\\
\leq
\exp(\frac{n-1}{n}\lVert A\rVert_{\infty})
\sum_{J=1}^{n}\lVert (1+\frac{1}{n}A(\frac{J}{N}))- \exp(\int_{\frac{J-1}{n}}^{\frac{J}{n}}A(t)\mathrm{d}t)\rVert\\
\leq
\exp(\lVert A\rVert_{\infty})\left(
\sum_{J=1}^{n}\lVert\frac{1}{n}A(\frac{J}{N})-\int_{\frac{J-1}{n}}^{\frac{J}{n}}A(t)\mathrm{d}t\rVert+
\sum_{J=1}^{n}\lVert (1+\int_{\frac{J-1}{n}}^{\frac{J}{n}}A(t)\mathrm{d}t)- \exp(\int_{\frac{J-1}{n}}^{\frac{J}{n}}A(t)\mathrm{d}t)\rVert\right)\\
\leq\exp(\lVert A\rVert_{\infty})\left(
\sum_{J=1}^{n}\int_{\frac{J-1}{n}}^{\frac{J}{n}}\lVert A(\frac{J}{N})-A(t)\rVert\mathrm{d}t+
\sum_{J=1}^{n}\sum_{m=2}^{+\infty}\frac{\lVert A\rVert_\infty^m}{m!n^m}\right)\\
\leq\exp(\lVert A\rVert_{\infty})\left(
\sum_{J=1}^{n}\int_{\frac{J-1}{n}}^{\frac{J}{n}}\lVert A(\frac{J}{N})-A(t)\rVert\mathrm{d}t+
\sum_{m=2}^{+\infty}\frac{\lVert A\rVert_\infty^m}{m!n^{m-1}}\right)\\
\leq\exp(\lVert A\rVert_{\infty})\left(
\sum_{J=1}^{n}\int_{\frac{J-1}{n}}^{\frac{J}{n}}\lVert A(\frac{J}{N})-A(t)\rVert\mathrm{d}t+
\frac{\lVert A\rVert_\infty^2}{n}\sum_{m=0}^{+\infty}\frac{\lVert A\rVert_\infty^m}{(m+2)!n^m}\right)\\
\leq\exp(\lVert A\rVert_{\infty})\left(
\sum_{J=1}^{n}\int_{\frac{J-1}{n}}^{\frac{J}{n}}\lVert A(\frac{J}{N})-A(t)\rVert\mathrm{d}t+
\frac{\lVert A\rVert_\infty^2\exp(\lVert A\rVert)}{n}\right)
$$
Le second terme tend vers $ 0 $ quand $ n $ tend vers $ +\infty $.
Et grâce à l'uniforme continuité de $ A $ (Heine), le premier terme tend aussi vers $ 0 $ quand $ n $ tend vers $ +\infty $.
Fin du cas commutatif. Je le trouve faisable mais long. Bien pour un DM, long à rédiger, donc long pour un oral. Le cas non commutatif sans Cauchy-Lipshitz non linéaire et sans les résultats de convergence pour les schémas numériques, je le trouve infaisable avec uniquement le programme de prépa.
FIN EDIT:

Premier point général: la solution à
$$
\Phi'(t)=B(t)\Phi(t)\\
\Phi(0)=I_d
$$
n'est pas en général $ t\mapsto\exp(\int_0^tB(s)\mathrm{d} s) $ dans le cas matriciel. Elle l'est dans certains cas, en particulier
lorsque toutes les matrices $ B $ commutent.

Lorsque les matrices ne commutent pas, la suite $ E_n $ ne va pas converger vers l'exponentielle mais vers la valeur de la solution en $ 1 $ de l'équation différentielle de mon message précédent.

Je m'inspire de la preuve du théorème de Cauchy sur la convergence d'Euler explicite.
$$
E_{j,n}=\prod_{k=n-j+1}^n(I_d+\frac{1}{n}A(\frac{k}{n}))
$$
par récurrence de j=0 à j=n, et estime la différence entre $ E_{j,n} $ et $ \Psi(j/n) $ où $ \Psi $ est défini dans mon post précédent. Je te conseille de lire un livre sur la discrétisation des EDO (lien entre erreur locale et erreur globale). Je pars du point de vue que l'ordre de multiplication dans le produit est tel que
$$
\prod_{k=1}^n(I_d+\frac{1}{n}A(\frac{k}{n}))=(I_d+\frac{1}{n}A(\frac{1}{n}))(I_d+\frac{1}{n}A(\frac{2}{n}))\times\ldots\times(I_d+\frac{1}{n}A(\frac{n}{n}))
$$
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Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.

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Re: Oral X

Message par oty20 » 24 mars 2018 23:11

La solution Présenté en spoiler est de niveau MP pour le cas commutatif , je ne vois pas trop l’intérêt du cas non commutatif , vu que c'est l'étude d'un produit , sans commutation c'est bien pénible .
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Re: Oral X

Message par oty20 » 25 mars 2018 11:31

oui l'objectif primordial d'un oral , il me semble c'est le dialogue avec l'examinateur , l'échange des idées .... de manière général un exercice difficile n'est pas fait pour être résolu en un temps extrêmement limité .
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Re: Oral X

Message par matmeca_mcf1 » 26 mars 2018 10:50

Je pense que le cas général ne peut pas être résolu avec le programme de prépa. En effet, le résultat est la valeur en un point de la solution à une problème de Cauchy non linéaire. Et les EDO non linéaires ont disparu du programme (en 2013?) donc je dirais qu'on ne peut même pas écrire la solution sans faire du hors-programme. En 1999, on aurait pu écrire la solution (Cauchy-Lipshitz non linéaire était au programme) mais le théorème de convergence des schémas numériques de résolution d'une EDO ne l'était pas.
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Re: Oral X

Message par dSP » 26 mars 2018 21:39

Désolé si ma question peut paraître inconvenante, mais l'équation $ X'=XA(t) $ d'inconnue matricielle $ X $ ne relève-t-elle pas de la théorie des équations différentielles linéaires ?
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Re: Oral X

Message par matmeca_mcf1 » 27 mars 2018 10:00

C'est vrai. Elle est linéaire. J'ai parlé beaucoup trop vite. Donc, on peut effectivement écrire la solution avec le programme de spé. Effectivement, l'exercice n'est plus infaisable mais le théorème de convergence des schémas numériques (ici Euler Explicite) n'est pas au programme donc il va falloir le redémontrer dans le cas particulier d'Euler Explicite. Ce n'est pas très dur si on sait où l'on va. Le lien avec Euler Explicite va sauter aux yeux de n'importe quel numéricien. Mais je ne suis pas sûr que les taupins soient très familliers avec les schémas numériques de résolution d'EDO. Pour ce que j'en sais, il voit juste Euler Explicite en info.
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Re: Oral X

Message par dSP » 27 mars 2018 10:57

Oui, cet exercice est vraiment difficile pour les taupins, même s'il est techniquement abordable avec leur bagage théorique.
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Re: Oral X

Message par kakille » 31 mars 2018 23:22

matmeca_mcf1 : une anecdote : je me souviens que ma prof m'a très bien expliqué en terminale le lien entre la solution de l'ed $ y'=y $ avec $ y(0)=1 $ et la limite de $ ((1+\frac{.}{n})^n)_n $. J'avais trouvé sympa de voir arriver cette suite de cette manière. Il s'agissait pour elle de ne pas admettre le théorème : "Il existe une unique solution pour ce problème de Cauchy" et, en plus, d'en donner une heuristique.

On trouve quand même des bons profs dans les lycées lambada :)
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