Oral X

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Oral X

Message par Hadeo » 05 mars 2018 14:14

Bonjour à tous,

Cela fait quelques temps que je bloque sur le problème suivant :

Soit d entier naturel non nul.
A : [0,1] -->$ M_{d}(R) $, une fonction continue.

Pour n entier naturel non nul :
$ E_{n} = \prod_{k=1}^n {(I_{d} +\frac{1}{n} A(\frac{k}{n}))} $

Il faut étudier la convergence de la suite $ (E_{n}) $.
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Re: Oral X

Message par kakille » 05 mars 2018 14:20

Bonjour,

tu as regardé le cas d=1 ?
"[...] On dira que le nombre $ L $ est limite de cette suite, si, pour tout nombre réel donné $ \varepsilon $, si petit soit-il, il existe un nombre entier $ n $ tel que l'ont ait $ |L−S_n|<\varepsilon $."

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Re: Oral X

Message par Hadeo » 05 mars 2018 15:14

Bonjour,

Pour le cas d=1, j'applique un ln au produit.

J'encadre ensuite la somme obtenue à l'aide de l'inégalité suivante :
$ \exists M \in R^{+}, \forall x \in [\frac{-1}{2},+\infty[, x-Mx^{2} \leq ln(1+x) \leq x $, ainsi que le fait que A est bornée.

J'obtiens deux encadrants et me ramène à des sommes de Riemann.
Finalement, $ E_{n} $ tend vers $ exp(\int_0^1 A(t)dt) $.

Je n'arrive pas à généraliser ce cas pour de "vrais" produits matriciels.
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Re: Oral X

Message par kakille » 05 mars 2018 15:18

Au moins, on sait maintenant ce qu'on doit trouver :wink:

Ya plus qu'à montrer que la différence tend vers 0 :mrgreen:
"[...] On dira que le nombre $ L $ est limite de cette suite, si, pour tout nombre réel donné $ \varepsilon $, si petit soit-il, il existe un nombre entier $ n $ tel que l'ont ait $ |L−S_n|<\varepsilon $."

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Re: Oral X

Message par matmeca_mcf1 » 05 mars 2018 15:19

Essaie d'abord le cas où toutes les matrices A(t) commutent.
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
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Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.

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Re: Oral X

Message par oty20 » 05 mars 2018 22:06

l’hypothèse de commutation est nécessaire du moins pour que cela converge vers la limite annoncé
Dernière modification par oty20 le 05 mars 2018 22:54, modifié 1 fois.
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Re: Oral X

Message par matmeca_mcf1 » 05 mars 2018 22:36

Exact. Sinon, mon intuition (et un théorème de convergence hors programme pour les méthodes de résolution numérique d'une EDO) me dit que la limite devrait être $ \Psi(1) $
$ \Psi\colon[0,1]\mapsto\mathcal{M}_d(\mathbb{R}) $ est l'unique solution sur $ [0,1] $ du pb de Cauchy
$$
\Psi'(t)=A(1-t)\Psi(t)\\
\Psi(0)=I_d
$$

$ E_n $ étant la solution numérique (en 1) obtenue avec la méthode d'Euler explicite.

Mais les EDO non linéaires et Cauchy-Liphitz non linéaires sont eux-même hors-programme. Euler Explicite est vu en info commune. L'exercice me semble infaisable vu le programme de prépa vu qu'on ne peut même pas écrire la solution sans utiliser Cauchy-Lipshitz non linéaire. Quant au théorème de convergence de Cauchy sur la convergence de la méthode d'Euler-Explicite (et d'autres méthodes) vers la solution (moyennant quelques hypothèses assez faibles), il est largement hors-programme.
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Re: Oral X

Message par BobbyJoe » 05 mars 2018 22:57

On peut peut-être composé par un caractère de $M_{d}(\mathbb{R})$ pour se ramener au cas commutatif! ^^

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Re: Oral X

Message par kakille » 06 mars 2018 10:08

Hadeo devrait indiquer l'origine de cette question. C'est une information para-mathématique qui a son importance quand on manque d'idée pour résoudre un problème.
"[...] On dira que le nombre $ L $ est limite de cette suite, si, pour tout nombre réel donné $ \varepsilon $, si petit soit-il, il existe un nombre entier $ n $ tel que l'ont ait $ |L−S_n|<\varepsilon $."

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Re: Oral X

Message par Hadeo » 06 mars 2018 11:31

Bonjour à tous, merci pour vos réponses.

Kakille, ce problème provient d'un oral de l'X posé en 2016, et donné comme entrainement à Ginette.

Matmeca, j'ai suivi ton indication et ai traité le cas où tous les A(t) commutent.
J'obtiens un résultat "similaire" au tien.
Sous réserve de commutativité ET de convergence de $ E_{n} $ (que je n'arrive d'ailleurs pas à prouver) :

La limite serait $ g(1) $ où $ g \colon[0,1]\mapsto\mathcal{M}_d(\mathbb{R}) $
est l'unique solution du problème de Cauchy : $ g(0)=I_{d} $ et $ g'(x)=(\int_0^1 A(t)dt) g(x) $
Et donc : $ g(x)=exp(x \int_0^1 A(t)dt) $

Pour cela j'ai introduit :
$ g_{n} \colon[0,1]\mapsto\mathcal{M}_d(\mathbb{R}) $ dont la limite simple est g (sous réserve d'existence).
$ g_{n}(x) = \prod_{k=1}^n {(I_{d} +\frac{x}{n} A(\frac{k}{n}))} $
J'obtiens une équadiff sur $ g_{n} $ grâce à l'hypothèse de commutativité et je passe à la limite avec des sommes de Riemann.

J'ai donc 2 problèmes :
Comment montrer que $ g_{n} $ converge ? Comment se passer de la commutativité ?
Hadeo
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