Question

[xabongo]

Soit a un entier dont on connaît la valeur existe il un moyen "simple" (pas bourrin) de trouvé n un entier naturel telle que n! = a

[xabongo]

Quand je dit pas bourrin je veut dire ne pas tester toute les valeurs jusqu à tombé sur le résultat.

[oty20]

déjà l'application que a x associe x! est injective , donc la solution est unique après si x!=a alors tout les entiers dans [[1,x]] divisent ''a'' , donc il faut que l'ensemble des diviseurs de ''a'' contienne une suite d'entiers consécutif ; le produit de ses diviseurs consécutifs est la solution

[darklol]

Très bien, il suffit donc calculer les diviseurs de $ a $, facile si $ a $ n’est pas trop grand, mais ça se complique vite...

Il y a plein d’approximations de la factorielle / fonction gamma qu’on peut inverser avec une méthode numérique du genre Newton. Même Stirling devrait donner des résultats potables.

[oty20]

j’imagine que l'importance d'inverser gamma , c'est d'obtenir un rang a partir duquel on peut appliquer l'approximation , une idée sur le l'ordre de grandeur du rang ?

[darklol]

Non inverser gamma ça sert juste à résoudre l’équation demandée. Si je cherche n tel que $ n! = a $ (à supposer qu’il existe un tel n), alors je dirais qu’il suffit de résoudre numériquement $ n\ln(n) - n + \frac{1}{2}\ln(2\pi n) = \ln(a) $, évidemment on va trouver une solution non entière, mais si on prend l’entier le plus proche y a de bonnes chances que ce soit la solution du problème original, et sinon suffit de tâtonner les 2 trois entiers autours et de calculer leur factorielle voire si on retombe bien sur $ a $, où éventuellement si on obtient un encadrement strict de $ a $ avec des factorielles, auquel cas il n’y a pas de solution. Non contractuel, mais à tester.

[oty20]

Merci , oui j'avais compris le principe , mais j'ai vu que le problème de la formule de Stirling par exemple https://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_de_Stirling est que la valeur calculer reste assez loin de la valeur de $ n! $ , cela serait donc légitime de se demander a partir de quel rang de $ n $ , l'entier le plus proche est facile a trouver . Après , peut être que résolution numérique s'affranchit de ce problème .

[darklol]

Dans ce sens ci, oui la valeur donnée dans la formule de Stirling est assez éloignée de la vraie valeur de $ n! $. Mais dans l’autre sens, la réciproque va écraser les distances.