Probabilité et algèbre linéaire

[oty20]

Bonjour je poste l'exo suivant parce que je suis pas convaincu de ma réponse .

soit $ K $ un corps fini de cardinal $ q $ , $ E $ un $ K $ ev de dimension finie $ n\geq 1 $. On muni $ L(E) $ de la probabilité uniforme ,
on dénote $ p_{n}(q) $ la probabilité pour qu'un endomorphisme soit cyclique , déterminer $ \lim_{q \to +\infty} p_{n}(q)
$ .

Il s'agit donc de dénombrer le nombre d'endomorphismes cycliques , pour ce faire , j'ai pensé a la caractérisation , $ u\in L(E) $ si et seulement , il existe une base , dans laquelle la matrice de $ u $ est une matrice compagnon . De la Pourquoi pas adopter une vision matriciel pour se fixer les idées , comme $ L(E) $ et $ M_{n}(K) $ sont isomorphe , a chaque matrice de la forme d'une matrice compagnon , on lui associé le polynôme $ P \in K_{n}[X] $ a partir duquel est formé la dernière colonne , qui est la seule a varier qu'on passe d'endomorphisme a un autre , soit $ f: M_{n}(K) \to K[X] $ qui a la matrice compagnon $ C(P) $ associe $ f(C(P))=P $ , $ P=X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+...+a_{0} $, si $ f(C(P))=f(C(Q)) $ alors clairement $ a_{i}=b_{i} $ et donc $ C(P)=C(Q) $ l’application est ainsi injective , et il suffit donc de compter le nombre de polynômes , car a partir de chaque polynôme on forme une et une seule matrice $ C(P) $ .
pour chaque coefficient $ a_{i} $ on a $ q $ choix , donc en tout $ q^{n} $ ; ainsi $ p_{n}(q)=\frac{q^{n}}{q^{n^{2}}} $. Sauf erreur , de ma part . Toute contribution est le bienvenue . Merci .

[dSP]

Bonjour.

Il me semble qu'il n'existe pas de belle formule pour $ p_n(q) $, d'où la question exigeant simplement une limite.

L'erreur dans votre raisonnement est que vous considérez que tous les endomorphismes cycliques sont représentables par une matrice compagnon dans la même base. Pour un polynôme unitaire $ P $ de degré $ n $ donné, le nombre d'endomorphismes cycliques de $ E $ ayant $ P $ pour polynôme caractéristique dépend énormément de $ P $.

[oty20]

Oui justement Merci beaucoup , c'est justement pourquoi j'ai posté ce problème , je me disais bien qu'un calcule directe de probabilité serait directement demander , si c’était possible au lieu d'une limite , et j'avais justement des doutes , sur le fait que j'ai ignoré l'incidence de la base , dans mon raisonnement . Mais ce qui m'as conforté dans l'idée qu'on puisse calculé la probabilité c'est que j'ai retrouvé ce problème dans un Td , et il y avait une question avant celle ci : https://scontent-mrs1-1.xx.fbcdn.net/v/ ... e=5B289F07

donc a part si j'ai mal retranscrit l'énoncé la première question induit en erreur .

[matmeca_mcf1]

On peut calculer ce nombre mais ce n'est pas évident et cela demande d'ailleurs du hors programme. On a besoin des actions de groupes qui sont maintenant hors-programme en spé. Voici un programme de résolution que vous avez déjà en partie mené à bien.

Choisir un représentant par classe de matrice semblable (matrice compagnon ou forme de Jordan). La première question semble une indication à mettre la matrice sous forme de Jordan. Mais, cela ne va pas fonctionner puisque les les corps finis ne sont pas algébriquement clos (et la cloture algébrique ne sera pas un corps fini) et qu'il existe des matrices sur $K$ dont les valeurs propres ne sont pas dans $K$. Donc, il faut continuer avec les matrices compagnons comme vous l'avez fait.

Vous avez compté le nombre de classes d'équivalences des matrices cycliques pour la relation "matrice semblable" avec les matrices compagnons mais ce n'est que la première étape. Pour chaque matrice compagnon, il va falloir compter le nombre de matrices qui lui sont semblables. Cela peut se faire avec la formule des classes pour l'action de groupe de $GL_n(K)$ sur l'ensemble des endomorphismes $M_n(K)$. Nous allons utiliser l'action de groupe par conjugaison donnée par
$$
GL_n(K)\times M_n(K)\to M_n(K)\\
(P,A)\mapsto PAP^{-1}
$$
Il s'agit d'une action de groupe. Et la formule des classes nous dit que le nombre de matrices semblables à une matrice $A$ est égal à
$$
\frac{\mathrm{card}(GL_n(K))}{\mathrm{card}(\text{Matrices inversibles sur K commutant avec A})}
$$
Donc, il faut calculer le cardinal de $GL_n(K)$ et calculer pour chaque polynôme $P$, le nombre de matrice commutant avec la matrice compagnon $P$. Le premier cardinal peut être calculé (sous forme de produit de $0$ à $n-1$). Le deuxième est plus dur à calculer mais je pense que c'est possible.

[dSP]

L'esprit de l'exercice est plutôt d'observer que sur un corps infini un endomorphisme est génériquement cyclique. Il est donc naturel de penser que $ p_q(n) $ tend vers $ 1 $ lorsque $ q $ tend vers $ +\infty $. Pour cela, une simple minoration suffit : il peut être intéressant de minorer la probabilité pour qu'un vecteur donné soit cyclique pour un endomorphisme aléatoire...

[oty20]

@matmeca_mcf1 , Merci infiniment pour votre contribution c'est toujours un énorme plaisir de vous lire , vos commentaires sont toujours richissimes en savoir . Le cardinal de $ GL_{n}(K) $ n'est pas difficile a calculer , il suffit que les vecteurs de colonnes soient linéairement indépendant , pour la première colonne seule le vecteur 0 est a éviter donc $ q^{n}-1 $ choix , pour la deuxième il faut éviter la droite vectoriel engendre par la premier , soit $ q^{n}-q $ , ainsi de suite .... Pour le cardinal dans le dénominateur ,pouvons-nous utiliser que pour un endomorphisme cyclique u $ C(u)=K(u) $ , pour une estimation qui donnerai la valeur $ 1 $ a la limite ?

@dsp : Merci infiniment , un endomorphisme est génériquement cyclique , pouvais vous expliquez pourquoi ? je trouve la condition pour qu'un endomorphisme soit cyclique assez restrictif , a part si ils sont dense auquel cas cela semble intuitif . Sinon , comment modéliser un endomorphisme aléatoire ? par une matrice aléatoire ? je ne vois pas comment faire apparaître la formule donnée par @matmeca_mcf1 par une méthode probabiliste , la minoration de la probabilité , consisterait en une majoration du cardinal du dénominateur par une méthode probabiliste , puisque le numéroteur est calculable sans problème , non ?

[dSP]

Une propriété (à une variable vivant dans un espace vectoriel de dimension finie, sur un corps infini) est dite générique lorsqu'elle est vraie en dehors d'un fermé non plein pour la topologie de Zariski, autrement dit vraie en dehors de l'ensemble des zéros d'une fonction polynomiale non nulle. Sur un corps infini $ K $, si l'on fixe un vecteur $ x \in K^n $ non nul, la propriété ``le vecteur $ x $ est cyclique pour $ A $", de variable $ A\in M_n(K) $, est générique car la liaison de $ (x,Ax,\dots,A^{n-1}x) $ se traduit par l'annulation d'un polynôme en $ A $ (penser au déterminant) et car au moins une matrice $ A $ vérifie cette propriété.

Cela dit, les remarques de matmeca_mf1 sont intéressantes en elles-mêmes, mais ne permettent pas, jusqu'à preuve du contraire, de résoudre la question qui vous intéresse. Peux-être est-il envisageable, étant donné un vecteur non nul $ x $ de $ E $, de dénombrer les endomorphismes $ u $ de $ E $ dont $ x $ est un vecteur cyclique...

[oty20]

Merci beaucoup , pour l'instant je sèche sur l'indication que vous m'avez donné , j'ai plutôt le sentiment que minorer le cardinal de l'ensemble des endomorphismes cycliques , en le restreignant a des sous parties dans on sait calculer le cardinal , comme par exemple aux matrices nilpotente d'indice n , plus d'autres parties .... ajouter suffisamment de terme pour faire converger vers 1 ... pourrait marcher

[dSP]

Au risque de paraître lourd et insistant : mieux vaut creuser dans la direction que je vous suggère...

[siro]

C'est marrant, c'est pas cette définition de généricité que j'ai vue utilisée en systèmes dynamiques. Là-bas, c'était "propriété vraie sur une mesure pleine de l'espace", ou "vraie si on perturbe légèrement notre objet" (for some value of perturber). Nettement plus large que votre définition avec la topologie de Zariski, non ?