Probabilité et algèbre linéaire

[oty20]

Merci beaucoup , pour autre apport inestimable et vos interventions .

C'est vrai , Si c'est possible de faire un calcule explicite , alors la recherche d'un équivalent ,perd tout intérêt .

Sauf si la formule ne se simplifie pas .


Edit : Clarification .

[oty20]

Problème résolue : un équivalent de la probabilité est $ 1-p_n(q)\sim 1/q^3 $ pour $ q $ suffisamment grand .

Voici une référence de la preuve : P.M. Neumann, C.E. Praeger, Cyclic matrices over finite fields, J. Lond. Math. Soc. 52 (1995) 263–264.

[matmeca_mcf1]

Je reprécise que ce n'est pas nécessaire pour résoudre l'exercice de départ et qu'une minoration suffit et que cela dépasse de loin le cadre de la prépa Mais voici la suite si on veut essayer de calculer le nombre exact de matrices cycliques. On a besoin du nombre de polynômes irréductibles unitaires de degré k sur K.

Voici comment on calcule le nombre $ d_k $de polynômes unitaires irréductibles unitaires de degré $ k $ sur $ K $: le calcul se fait par récurrence, si on connait le nombre de polynômes unitaires irréductibles de degré strictement inférieur à $ k $, on peut calculer sous forme de somme, le nombre de polynômes unitaires de degré $ k $ qui ne sont pas irréductibles. Par exemple, on a $ q $ polynômes unitaire irréductibles sur $ K $ de degré $ . On a donc $ q(q-1)/2 $ polynômes unitaires sur $ K $ de degré $ 2 $ produit de deux polynômes unitaires irréductibles distincts de degré {tex]1 $ et $ q $ carrés donc $ q(q+1)/2 $ polynômes unitaires de degré $ 2 $ qui ne sont pas irréductibles donc, on a donc $ q^2-q(q+1)/2=q(q-1)/2 $ polynômes unitaires irréductibles sur K de degré 2.

Je ne suis pas sûr d'arriver à une formule exacte de $ d_n $pour n quelconque mais on pourra au moins avoir une expression sous forme de somme faisant intervenir les $ d_k $ pour $ k<n $. Je sais qu'on peut au moins prouver par cette méthode que $ d_k\geq 1 $ (le cas un peu plus difficile étant q=2). J'éditerai ce post quand j'aurais le temps pour rajouter la formule sous forme de somme.

EDIT: Merci, si cela fait l'objet d'un article, le calcul exact doit aboutir à une formule sous forme de somme non simplifiable.

[oty20]

Bonjour Professeur , oui la question dépasse le cadre de l'exercice , c'est plus par curiosité et en guise de complément\développement , aussi par plaisir des Maths , que je me posais la question de cherche d'un équivalent, comme le calcule explicite semblait très compliqué, voir non résoluble .

En recopiant le nom de l'article de mon précédent poste sur google , on tombe sur plusieurs articles sur ce sujet , certains ont entamé une démarche similaire a la votre , mais sont tombé sur des sommations plus compliqué , des sommes triples en veux-tu en voilà ; puis se sont lancé dans des approximations par la suite . La somme est donc en effet non simplifiable , aussi cela m'a permis de trouver plusieurs documents sur les matrices aléatoires et les corps finis, sujet qui m’intéresse beaucoup que je me ferai le plaisir de lire durant l'été .

Merci encore .