Des preuves classiques de Prépas en 5 lignes ou moins.

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Modérateurs : JeanN, Michel Quercia

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Dattier
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Des preuves classiques de Prépas en 5 lignes ou moins.

Message par Dattier » mer. mars 21, 2018 12:30 am

Salut,

\( (x_n)\in[a,b]^{\mathbb N} \).

Montrons qu'il existe une sous suite convergente.

cas 1 : \( \forall n\in\mathbb N, \sup\{x_k;k > n\}=\max\{x_k;k > n\}=x_{s(n)}, s(n) > n \)
On pose \( s^2(x)=s(s(x)) \) et \( \phi(n)=s^n(0) \) alors \( x_{\phi(n)} \) est une sous suite décroissante minorée par a, donc elle converge.

cas 2 : \( \exists n\in\mathbb N, \sup\{x_k;k > n\} \) n'est pas atteint,
alors il existe une sous suite \( x_{\phi(n)} \) qui converge vers ce sup.

Fin.

Cordialement.
Modifié en dernier par Dattier le jeu. avr. 05, 2018 9:55 pm, modifié 2 fois.

Almar
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Re: une jolie preuve du théorème de Bolzano-Wierstrass (en 4 lignes)

Message par Almar » mer. mars 21, 2018 12:48 am

Quelqu'un avait déjà proposé cette preuve en exercice pour les lycéens ici, j'avais beaucoup aimé :)
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Re: une jolie preuve du théorème de Bolzano-Wierstrass (en 4 lignes)

Message par Dattier » mer. mars 21, 2018 12:57 am

Effectivement c'est la même idée.

kakille
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Re: une jolie preuve du théorème de Bolzano-Wierstrass (en 4 lignes)

Message par kakille » mer. mars 21, 2018 12:59 am

1. De toute suite réelle, on peut extraire une suite monotone : considérer le cas ou le nombre d'indices pics est fini ou pas.
2. Une suite monotone bornée est convergente.

Deux lignes.

Fin.

Cordialement.
"[...] On dira que le nombre \( L \) est limite de cette suite, si, pour tout nombre réel donné \( \varepsilon \), si petit soit-il, il existe un nombre entier \( n \) tel que l'ont ait \( |L−S_n|<\varepsilon \)."

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Re: une jolie preuve du théorème de Bolzano-Wierstrass (en 4 lignes)

Message par Dattier » mer. mars 21, 2018 1:00 am

@Almar : Je vais m'attaquer au théorème de convergence dominée, si tu as cela déjà en stock, c'est pas la peine.

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Re: une jolie preuve du théorème de Bolzano-Wierstrass (en 4 lignes)

Message par Dattier » mer. mars 21, 2018 1:01 am

kakille a écrit :
mer. mars 21, 2018 12:59 am
1. De toute suite réelle, on peut extraire une suite monotone : considérer le cas ou le nombre d'indices pics est fini ou pas.
2. Une suite monotone bornée est convergente.

Deux lignes.

Fin.

Cordialement.
C'est exactement ce que j'ai fait, sauf que j'ai developpé les 2 cas (ce qui donne 4 lignes)

kakille
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Re: une jolie preuve du théorème de Bolzano-Wierstrass (en 4 lignes)

Message par kakille » mer. mars 21, 2018 1:11 am

Ah bah désolé, c'est pas assez clair pour moi. Je vois pas là où tu distingues fini/infini.

Pour moi, indice pic de la suite c'est un indice tel que le terme correspondant majore tous les termes suivants. Une date de record où on aurait inversé la ligne du temps.

T'es sûr qu'on propose "exactement" la même chose ? Moi pas.

:?
"[...] On dira que le nombre \( L \) est limite de cette suite, si, pour tout nombre réel donné \( \varepsilon \), si petit soit-il, il existe un nombre entier \( n \) tel que l'ont ait \( |L−S_n|<\varepsilon \)."

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Re: une jolie preuve du théorème de Bolzano-Wierstrass (en 4 lignes)

Message par Dattier » mer. mars 21, 2018 1:24 am

cas 1 fini, cas 2 infini

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Re: une jolie preuve du théorème de Bolzano-Wierstrass (en 4 lignes)

Message par kakille » mer. mars 21, 2018 1:30 am

Je ne trouve pas ça assez clair. C'est mon humble opinion.
"[...] On dira que le nombre \( L \) est limite de cette suite, si, pour tout nombre réel donné \( \varepsilon \), si petit soit-il, il existe un nombre entier \( n \) tel que l'ont ait \( |L−S_n|<\varepsilon \)."

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Message par Dattier » mer. mars 21, 2018 1:34 am

la preuve, ou que l'on exploite la même idée ?

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Re: une jolie preuve du théorème de Bolzano-Wierstrass (en 4 lignes)

Message par kakille » mer. mars 21, 2018 1:35 am

Les deux mon capitaine.
"[...] On dira que le nombre \( L \) est limite de cette suite, si, pour tout nombre réel donné \( \varepsilon \), si petit soit-il, il existe un nombre entier \( n \) tel que l'ont ait \( |L−S_n|<\varepsilon \)."

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Re: une jolie preuve du théorème de Bolzano-Wierstrass (en 4 lignes)

Message par Dattier » mer. mars 21, 2018 1:36 am

qu'est-ce qui n'est pas clair dans la justification que je propose ?

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Re: une jolie preuve du théorème de Bolzano-Wierstrass (en 4 lignes)

Message par kakille » mer. mars 21, 2018 1:38 am

Vu que tu es dans la concision, je vais dire "tout".
"[...] On dira que le nombre \( L \) est limite de cette suite, si, pour tout nombre réel donné \( \varepsilon \), si petit soit-il, il existe un nombre entier \( n \) tel que l'ont ait \( |L−S_n|<\varepsilon \)."

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Re: une jolie preuve du théorème de Bolzano-Wierstrass (en 4 lignes)

Message par darklol » mer. mars 21, 2018 1:39 am

Par contre pense à changer ton énoncé du théorème de convergence dominée avant d’essayer de le démontrer en 3 lignes.
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Message par Dattier » mer. mars 21, 2018 1:41 am

@kakille :
Le cas 1 correspond aux cas où tu peux construire une suite décroissante.
Le cas 2 correspond aux cas où tu peux construire une suite croissante.
Modifié en dernier par Dattier le mer. mars 21, 2018 1:42 am, modifié 1 fois.

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