Des preuves classiques de Prépas en 5 lignes ou moins.

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Re: une jolie preuve du théorème de Bolzano-Wierstrass (en 4 lignes)

Message par Almar » 20 mars 2018 23:48

Quelqu'un avait déjà proposé cette preuve en exercice pour les lycéens ici, j'avais beaucoup aimé :)
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Re: une jolie preuve du théorème de Bolzano-Wierstrass (en 4 lignes)

Message par kakille » 20 mars 2018 23:59

1. De toute suite réelle, on peut extraire une suite monotone : considérer le cas ou le nombre d'indices pics est fini ou pas.
2. Une suite monotone bornée est convergente.

Deux lignes.

Fin.

Cordialement.
"[...] On dira que le nombre $ L $ est limite de cette suite, si, pour tout nombre réel donné $ \varepsilon $, si petit soit-il, il existe un nombre entier $ n $ tel que l'ont ait $ |L−S_n|<\varepsilon $."

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Re: une jolie preuve du théorème de Bolzano-Wierstrass (en 4 lignes)

Message par kakille » 21 mars 2018 00:11

Ah bah désolé, c'est pas assez clair pour moi. Je vois pas là où tu distingues fini/infini.

Pour moi, indice pic de la suite c'est un indice tel que le terme correspondant majore tous les termes suivants. Une date de record où on aurait inversé la ligne du temps.

T'es sûr qu'on propose "exactement" la même chose ? Moi pas.

:?
"[...] On dira que le nombre $ L $ est limite de cette suite, si, pour tout nombre réel donné $ \varepsilon $, si petit soit-il, il existe un nombre entier $ n $ tel que l'ont ait $ |L−S_n|<\varepsilon $."

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Re: une jolie preuve du théorème de Bolzano-Wierstrass (en 4 lignes)

Message par kakille » 21 mars 2018 00:30

Je ne trouve pas ça assez clair. C'est mon humble opinion.
"[...] On dira que le nombre $ L $ est limite de cette suite, si, pour tout nombre réel donné $ \varepsilon $, si petit soit-il, il existe un nombre entier $ n $ tel que l'ont ait $ |L−S_n|<\varepsilon $."

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Re: une jolie preuve du théorème de Bolzano-Wierstrass (en 4 lignes)

Message par kakille » 21 mars 2018 00:35

Les deux mon capitaine.
"[...] On dira que le nombre $ L $ est limite de cette suite, si, pour tout nombre réel donné $ \varepsilon $, si petit soit-il, il existe un nombre entier $ n $ tel que l'ont ait $ |L−S_n|<\varepsilon $."

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Re: une jolie preuve du théorème de Bolzano-Wierstrass (en 4 lignes)

Message par kakille » 21 mars 2018 00:38

Vu que tu es dans la concision, je vais dire "tout".
"[...] On dira que le nombre $ L $ est limite de cette suite, si, pour tout nombre réel donné $ \varepsilon $, si petit soit-il, il existe un nombre entier $ n $ tel que l'ont ait $ |L−S_n|<\varepsilon $."

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Re: une jolie preuve du théorème de Bolzano-Wierstrass (en 4 lignes)

Message par darklol » 21 mars 2018 00:39

Par contre pense à changer ton énoncé du théorème de convergence dominée avant d’essayer de le démontrer en 3 lignes.
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Re: une jolie preuve du théorème de Bolzano-Wierstrass (en 4 lignes)

Message par darklol » 21 mars 2018 00:42

(Mais sinon ça va je trouve cette preuve claire)
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Re: une jolie preuve du théorème de Bolzano-Wierstrass (en 4 lignes)

Message par Jay Olsen » 21 mars 2018 10:40

Dattier a écrit :
20 mars 2018 23:30
Salut,

$ (x_n)\in[a,b]^{\mathbb N} $.

Montrons qu'il existe une sous suite convergente.

cas 1 : $ \forall n\in\mathbb N, \sup\{x_k;k > n\}=\max\{x_k;k > n\}=x_{s(n)}, s(n) > n $
On pose $ \phi(n)=s^n(0) $ alors $ x_{\phi(n)} $ est une sous suite décroissante minorée par b, donc elle converge.

cas 2 : $ \exists n\in\mathbb N, \sup\{x_k;k > n\} $ n'est pas atteint,
alors il existe une sous suite $ x_{\phi(n)} $ qui converge vers ce sup.

Fin.

Cordialement.
Ça veut dire quoi s puissance n de zéro ?
Ligne 2

Pourquoi une sous suite de x serait minorée par b, alors que b>a et x(k) appartient à [a,b] ?

Tu as des explications à fournir
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Yoz

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Re: une jolie preuve du théorème de Bolzano-Wierstrass (en 4 lignes)

Message par Yoz » 21 mars 2018 11:08

Jay Olsen a écrit :
21 mars 2018 10:40
Ça veut dire quoi s puissance n de zéro ?
Ligne 2

Pourquoi une sous suite de x serait minorée par b, alors que b>a et x(k) appartient à [a,b] ?

Tu as des explications à fournir
C'est la composée n-ième de s appliquée à 0, je suppose. Et la suite est minorée par a, ça doit être une faute de frappe...
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