Des preuves classiques de Prépas en 5 lignes ou moins.

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Re: Des preuves classiques de Prépas en 5 lignes ou moins.

Message par Mathoss » 17 janv. 2019 19:21

Bonsoir Dattier,
On est désormais en plein dans l'ère probabiliste!
Auriez-vous des preuve très efficace de la loi forte des grands nombres?
Pour les lemmes de Borel Cantelli:
Premier résultat:
Soit (A_n) une suite de variables aléatoires, on suppose que Série des P(A_n) converge, alors : P(limsup A_p) = 0

Preuve:
Pour tout n dans N, limsup A_p $c$ réunion sur k>=n de A_k, donc:
P(limsup A_p)<=P(Réunion sur k>=n A_k)
Donc: (sous-additivité de P)
P(limsup A_p)<=somme sur k>=n P(A_k)
En tant que reste d'une série convergente, la dernière somme tend vers 0 et donc, par encadrement:
P(limsup A_p) = 0

Second résultat:
Soit (A_n) une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes telles que Série des P(A_n) converge, alors: P(limsup A_p)=1

Preuve:
P(limsup A_p) = lim n→+∞ (lim N→+∞ P(réunion pour P=n à N de A_p))
=lol n->+inf ( 1 - lim N->+inf produit sur p=n à N (1-P(A_p)))
>=lim n->+inf(1- lim N->+inf produit sur p=n à N de exp(-P(A_p)) (inégalité de convexité)
>= Lim n->+inf (1-lim N->+inf exp(-somme sur k=n à N P(A_p)))
>= 1 car la série diverge
D'où P(limsup A_p)=1
Dernière modification par Mathoss le 17 janv. 2019 19:31, modifié 1 fois.
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Re: Des preuves classiques de Prépas en 5 lignes ou moins.

Message par matmeca_mcf1 » 17 janv. 2019 19:26

Pour le second résultat, il faut rajouter dans les hypothèses que les variables sont indépendantes. Avec cette preuve qui est celle que je connais, on l'utilise au moment où le produit apparaît. Cependant, il parait que le résultat reste vrai même si les variables aléatoires ne sont que deux à deux indépendantes. Je n'ai pas vu la preuve dans ce cas.
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP) filière matmeca
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.

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Re: Des preuves classiques de Prépas en 5 lignes ou moins.

Message par Mathoss » 17 janv. 2019 19:32

Merci beaucoup pour la correction
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