La boîte à outil du collé

[Nabuco]

Soit M une matrice de Mn(R). Notons P son polynôme minimal unitaire à coefficients complexes. P est alors à coefficients réels, et c'est le polynôme minimal unitaire à coefficient réels de M.
C'est encore un peu pompeux, mais ça semble mieux. Après ça marche encore si on remplace R par K un corps, et C par L un surcorps de K, si je ne m'abuse.

Désolé étourderie

[matmeca_mcf1]

Je confirme que le résultat reste vrai pour une matrice à valeurs dans K où K et L sont des corps avec K inclu dans L. Mais je ne sais pas le montrer avec des outils de prépa. Mais de toute façon en prépa, on ne regarde pas beaucoup les corps autres que R et C (programme de MPSI: "Dans tout le cours d’algèbre linéaire, le corps K est égal à R ou C").

[Nabuco]

Je confirme que le résultat marche encore pour une matrice à valeurs dans K où K et L sont des corps avec K inclu dans L. Mais je ne sais pas le montrer avec des outils de prépa. Mais de toute façon en prépa, on ne regarde pas beaucoup les corps autres que R et C.

La caractérisation du rang d'une famille de vecteurs de K^n est la même en tant que vecteur de K^n et L^n. En effet c'est le rang de la matrice formée par les vecteurs, qui est la dimension maximale d'une sous matrice carrée extraite inversible. Ainsi si le K polynôme minimal unitaire de M est de degré k, In,...M^k-1 sont K libres donc L libres, donc le L polynôme minimal unitaire de M est de degré>=k. Il est forcément le même que le K minimal unitaire (sinon on les soustrait contradiction)

[Dattier]

k, In,...M^k-1 sont K libres donc L libres.

\( (1,1) \) et $(\sqrt 2, \sqrt 2) $ sont $\mathbb Q$ libre mais ne sont pas $\mathbb Q(\sqrt 2)$ libre, non ?

édit : oui il faut que les coeff des lignes soient aussi dans $\mathbb Q$ donc mon exemple n'est pas bon.

édit : bravo @Nabuco pour ton explication astucieuse.

[kakille]

Hello,

Dattier : tu ne sembles pas comprendre (ou alors fais-tu semblant de ne pas voir) le problème qu'il y a dans ta formulation. Ce n'est pas en disant d'aller lire ailleurs pour comprendre le sens que tu y mets que cela l'améliorera ici.

La définition standard du polynôme minimal d'une matrice carré réelle ne permet pas d'envisager qu'il puisse être à coefficients complexes non réels : le polynôme minimal est à coefficients dans le corps où vivent les coefficients de la matrice, pas dans une extension.

Libre à toi d'aller contre les usages et de t'exposer à l'incompréhension de tes interlocuteurs.

Sinon, tu peux écrire :
"Soit \( n \) un entier \( \geq 1 \) et \( A \) dans \( M_n (\mathbb{C}) \) dont chaque coefficient est réel. On note \( P \) son polynôme minimal. etc."

[Dattier]

Bonjour,

Ainsi le lecteur qui ne comprend pas la version que j'ai donné, pourra comprendre la version que vous avez donné.
Un polynôme minimale annulateur à coeff dans K de M, est un polynôme de plus petit degré à coeff dans K annulant M.

[kakille]

Hello,

le "problème" c'est que cet énoncé pris au pied de la lettre (et on doit prendre un énoncé au pied de la lettre quand on apprend à faire des mathématiques) dit quelque chose d'évident :

Soit \( A \) dans \( M_n (\mathbb{R}) \). Elle possède un polynôme minimal que l'on note \( P \) : par définition, celui-ci est un polynôme à coefficients réels donc complexes. On a alors \( 1\times P=P\in \mathbb{R}[X] \).

Si tu étais professeur et/ou interrogateur et si tu avais donné ton énoncé tel quel et qu'un-e étudiant-e t'avais proposé cette solution, tu serais obligé d'utiliser la définition communément admise (qui n'est pas celle que tu donnes) car tu les prépares et tu serais obligé d'admettre que sa réponse est parfaitement correcte.

[Dattier]

Bonjour,

@Kakille : si tu vas par là, alors pour préparer le concours mieux vaut connaître parfaitement le programme pour jouer sur les failles, que de préparer normalement le concours.

Et en regardant le programme du polynôme minimale on dit juste qu'il est unitaire : http://prepas.lavoisier.fr/pdf/programme-MPMP.pdf

Je maintiens le fait que je précise que un polynôme annulateur minimale est à coeff complexe, fait que ce n'est pas forcément le "classique" mais que pour le prouver il y a un travail à faire.

Bonne journée.

[kakille]

Hello,

le programme précise qu'il est unitaire sans rappeler sa définition, mais cela ne signifie pas qu'on peut la choisir en fonction de ses goûts. D'ailleurs, tu remarqueras l'emploi de l'article défini "le" dans la suite de mots "Le polynôme minimal" et pas "Un polynôme minimal" et qu'il n'y a pas non plus l'expression "Polynôme minimal à coefficients dans...".

Tu peux aussi regarder

https://en.wikipedia.org/wiki/Minimal_p ... r_algebra)

https://de.wikipedia.org/wiki/Minimalpolynom

https://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio_mínimo

qui sont plus explicites que la définition de la page française.

Mais même dans cette dernière, tu ne peux en général pas envisager \( P(u) \) avec \( u \) endomorphisme d'un \( k \) ev \( E \) si \( P \) est à coefficients dans un corps quelconque \( k^{'} \) sans expliquer comment tu passes de la multiplication extérieure définie sur \( k\times E \) à celle qui serait définie sur \( k^{'} \times E \). S'il y a des cas où c'est à peu près clair implicitement, ce n'est pas le cas en général et les questions d'extension du corps des scalaires n'est pas un attendu du programme.

Les questions de formulation sont essentielles quand tu es enseignant, mais cela n'est peut-être pas ton problème.

Pour ma part, j'ai assez disserté sur cette question et te laisse faire comme tu veux pour cet énoncé et les suivants, puisque tu sembles ne pas vouloir tenir compte de l'aide que constitue ces remarques.

[Dattier]

Bonsoir,

une généralisation du théorème de Blass :

R20 : Super Bolzano

Bonne soirée.

[Dattier]

Bonsoir,

R 21 : Si $f$ continue de $(A,d)$ dans $(E,d')$ espaces métriques, avec $A$ connexe par arcs, alors $F(A)$ connexe par arcs.

Justification :

Soit $c,d \in F(A)$ alors $c=f(a)$ et $d=f(b)$ avec $a,b \in A$,
comme $A$ connexe par arcs, alors il existe $\gamma : [0,1] \rightarrow A$ continue, avec $\gamma(0)=a$ et $\gamma(1)=b$.
Par continuité de $F$ on $F\circ \gamma$ est un lacet continue de $F(A)$ avec $F\circ \gamma (0)=c$ et $F\circ \gamma (1)=d$

Fin de la justification.

Bonne soirée.

[Dattier]

Bonsoir,

Un résultat d'algébre général qui peut-être trés utile.

R 22 : le lemme des noyaux (cela marche aussi pour les morphismes quelconques)

Si \( f : E \rightarrow F,g : E \rightarrow G \), 2 applications linéaires, alors :

$ker(f) \subset ker(g)$, ssi il existe $u : F \rightarrow G$ linéaire tel que : $u \circ f=g$.

Justification : laissé en exo.

Bonne soirée.

[Dattier]

Bonjour,

R23 : les algébres tropicales.

R24 : égalité min-max

\( \max(a,b)=\frac{1}{2}(a+b+|a-b|)
\\\min(a,b)=\frac{1}{2}(a+b-|a-b|) \)

Bonne journée.

[Nicolas Patrois]

R24, je me souviens avoir trouvé ça au lycée parce que ma calculette d’alors (la Tandy pliable) n’avait pas ces deux fonctions dans son BASIC.

[Dattier]

@Nicolas : Et celui-ci tu le connaissais déjà ?

R25 : Lemme de Black Jack :
Si \( P(x)=a_nx^n+...+a_0 \), dans $\mathbb Z[x]$, avec une racine $c$ entière et non nul, alors $c | a_i$ (avec $a_i$ le plus petit $i$, tel que $a_i$ non nul).

R26 : le pseudo crible

Application : 182 groupes unis