La boîte à outil du collé

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Re: La boîte à outil du collé

Message par Nicolas Patrois » 18 nov. 2018 18:42

R25 ne devrait pas être difficile à montrer.
Si $ i=0 $, $ a_0=- \sum_{k=1}^{n} a_k c^k=c \sum_{k=1}^{n} a_k c^{k-1} $ donc $ c|a_0 $.
Si $ i\ne 0 $, comme $ c\ne 0 $, donc on divise $ P $ par $ X^i $ et on se ramène au cas précédent.
INFINITÉSIMAL : On ne sais pas ce que ce c’est, mais a rapport à l’homéopathie.
-+- Gustave Flaubert, Dictionnaire des idées reçues -+-

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Re: La boîte à outil du collé

Message par Léopol Ikheneche » 14 déc. 2018 18:51

R27 : Soit $ a,b \in \mathbb{N}^{*} $ premiers entre eux. On suppose : $ \exists n \in \mathbb{N}, \exists c \in \mathbb{N}, ab={c}^{n} $. Alors $ \exists {c}_1,{c}_2 \in \mathbb{N}, a={c}_{1}^{n} $ et $ b={c}_{2}^{n} $. Ça vient des Oraux X-ENS de chez Cassini.

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Re: La boîte à outil du collé

Message par GaBuZoMeu » 16 déc. 2018 19:02

Bonsoir,

Pas grand chose à voir avec la récurrence, plutôt avec l'étude des sous-groupes additifs de $ \mathbb R $.

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Re: La boîte à outil du collé

Message par GaBuZoMeu » 17 déc. 2018 08:52

Honnêtement, Dattier, utilises-tu ici autre chose que la fait qu'un sous-groupe additif de $ \mathbb R $ engendré par deux réels "sans commune mesure" est dense dans $ \mathbb R $ ?

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Re: La boîte à outil du collé

Message par GaBuZoMeu » 17 déc. 2018 11:21

Dattier, tu prends un prétexte pour éviter de répondre à une question purement mathématique.
L'isomorphisme $ (\mathbb R_+^*,\times)\to (\mathbb R,+) $ donné par le logarithme néperien envoie un ensemble contenant $ 1 $, stable par multiplication par $ 3 $ et par division par $ 2 $, sur une partie de $ \mathbb R $ contenant tous les $ a\ln(3)-b\ln(2) $ où $ a $ et $ b $ sont entiers naturels. Une telle partie est dense du fait de l'irrationalité de $ \ln(3)/\ln(2) $, et cette irrationalité se démontre facilement par l'unicité de la décomposition d'un entier en facteurs premiers.

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Re: La boîte à outil du collé

Message par GaBuZoMeu » 17 déc. 2018 11:54

Si tu avais lu le message précédent, tu aurais vu que c'est bien ce dont je parle, et par ailleurs c'est une conséquence assez immédiate de la densité du sous-groupe $ \ln(3)\mathbb Z+\ln(2)\mathbb Z $. Je peux t'expliquer comment on dérive cette conséquence, si tu le souhaites.

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Re: La boîte à outil du collé

Message par GaBuZoMeu » 17 déc. 2018 12:33

Très jolies couleurs.
Si je comprends bien (il est parfois difficile de te suivre dans les remaniements successifs de ton message) tu utilises effectivement la densité de $ \mathbb Z\,\ln(3)+\mathbb Z\,\ln(2) $ ? Pourquoi refuser de le reconnaître ? Ou alors prétends-tu procéder vraiment autrement ? Comment, alors ?
Dernière modification par GaBuZoMeu le 17 déc. 2018 12:43, modifié 1 fois.

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Re: La boîte à outil du collé

Message par GaBuZoMeu » 17 déc. 2018 14:52

Dattier : j'ai déjà remarqué ton utilisation du sobriquet "GaGa" quand tu es coincé dans ton argumentation. J'apprécierais que tu t'en tiennes à "GaBuZoMeu". Merci !

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Re: La boîte à outil du collé

Message par Errys » 02 janv. 2019 21:07

Un "lemme" utile (théorème de Darboux).
R30 : la dérivée d'une fonction vérifie le TVI.

Exemple d'application :
Soit $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} $ dérivable telle que $ \dfrac{f(x)}{|x|} $ diverge vers +inf en +/-inf. Montrer que $ f' $ est surjective.
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Ulm 2020-?

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