La caractérisation du rang d'une famille de vecteurs de K^n est la même en tant que vecteur de K^n et L^n. En effet c'est le rang de la matrice formée par les vecteurs, qui est la dimension maximale d'une sous matrice carrée extraite inversible. Ainsi si le K polynôme minimal unitaire de M est de degré k, In,...M^k-1 sont K libres donc L libres, donc le L polynôme minimal unitaire de M est de degré>=k. Il est forcément le même que le K minimal unitaire (sinon on les soustrait contradiction)matmeca_mcf1 a écrit : ↑29 août 2018 22:54Je confirme que le résultat marche encore pour une matrice à valeurs dans K où K et L sont des corps avec K inclu dans L. Mais je ne sais pas le montrer avec des outils de prépa. Mais de toute façon en prépa, on ne regarde pas beaucoup les corps autres que R et C.
La boîte à outil du collé
Re: La boîte à outil du collé
Re: La boîte à outil du collé
Hello,
Dattier : tu ne sembles pas comprendre (ou alors fais-tu semblant de ne pas voir) le problème qu'il y a dans ta formulation. Ce n'est pas en disant d'aller lire ailleurs pour comprendre le sens que tu y mets que cela l'améliorera ici.
La définition standard du polynôme minimal d'une matrice carré réelle ne permet pas d'envisager qu'il puisse être à coefficients complexes non réels : le polynôme minimal est à coefficients dans le corps où vivent les coefficients de la matrice, pas dans une extension.
Libre à toi d'aller contre les usages et de t'exposer à l'incompréhension de tes interlocuteurs.
Sinon, tu peux écrire :
"Soit $ n $ un entier $ \geq 1 $ et $ A $ dans $ M_n (\mathbb{C}) $ dont chaque coefficient est réel. On note $ P $ son polynôme minimal. etc."
Dattier : tu ne sembles pas comprendre (ou alors fais-tu semblant de ne pas voir) le problème qu'il y a dans ta formulation. Ce n'est pas en disant d'aller lire ailleurs pour comprendre le sens que tu y mets que cela l'améliorera ici.
La définition standard du polynôme minimal d'une matrice carré réelle ne permet pas d'envisager qu'il puisse être à coefficients complexes non réels : le polynôme minimal est à coefficients dans le corps où vivent les coefficients de la matrice, pas dans une extension.
Libre à toi d'aller contre les usages et de t'exposer à l'incompréhension de tes interlocuteurs.
Sinon, tu peux écrire :
"Soit $ n $ un entier $ \geq 1 $ et $ A $ dans $ M_n (\mathbb{C}) $ dont chaque coefficient est réel. On note $ P $ son polynôme minimal. etc."
"[...] On dira que le nombre $ L $ est limite de cette suite, si, pour tout nombre réel donné $ \varepsilon $, si petit soit-il, il existe un nombre entier $ n $ tel que l'ont ait $ |L−S_n|<\varepsilon $."
Alain Badiou, Eloge des mathématiques.
Alain Badiou, Eloge des mathématiques.
Re: La boîte à outil du collé
Hello,
le "problème" c'est que cet énoncé pris au pied de la lettre (et on doit prendre un énoncé au pied de la lettre quand on apprend à faire des mathématiques) dit quelque chose d'évident :
Soit $ A $ dans $ M_n (\mathbb{R}) $. Elle possède un polynôme minimal que l'on note $ P $ : par définition, celui-ci est un polynôme à coefficients réels donc complexes. On a alors $ 1\times P=P\in \mathbb{R}[X] $.
Si tu étais professeur et/ou interrogateur et si tu avais donné ton énoncé tel quel et qu'un-e étudiant-e t'avais proposé cette solution, tu serais obligé d'utiliser la définition communément admise (qui n'est pas celle que tu donnes) car tu les prépares et tu serais obligé d'admettre que sa réponse est parfaitement correcte.
le "problème" c'est que cet énoncé pris au pied de la lettre (et on doit prendre un énoncé au pied de la lettre quand on apprend à faire des mathématiques) dit quelque chose d'évident :
Soit $ A $ dans $ M_n (\mathbb{R}) $. Elle possède un polynôme minimal que l'on note $ P $ : par définition, celui-ci est un polynôme à coefficients réels donc complexes. On a alors $ 1\times P=P\in \mathbb{R}[X] $.
Si tu étais professeur et/ou interrogateur et si tu avais donné ton énoncé tel quel et qu'un-e étudiant-e t'avais proposé cette solution, tu serais obligé d'utiliser la définition communément admise (qui n'est pas celle que tu donnes) car tu les prépares et tu serais obligé d'admettre que sa réponse est parfaitement correcte.
"[...] On dira que le nombre $ L $ est limite de cette suite, si, pour tout nombre réel donné $ \varepsilon $, si petit soit-il, il existe un nombre entier $ n $ tel que l'ont ait $ |L−S_n|<\varepsilon $."
Alain Badiou, Eloge des mathématiques.
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Re: La boîte à outil du collé
Hello,
le programme précise qu'il est unitaire sans rappeler sa définition, mais cela ne signifie pas qu'on peut la choisir en fonction de ses goûts. D'ailleurs, tu remarqueras l'emploi de l'article défini "le" dans la suite de mots "Le polynôme minimal" et pas "Un polynôme minimal" et qu'il n'y a pas non plus l'expression "Polynôme minimal à coefficients dans...".
Tu peux aussi regarder
https://en.wikipedia.org/wiki/Minimal_p ... r_algebra)
https://de.wikipedia.org/wiki/Minimalpolynom
https://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio_mínimo
qui sont plus explicites que la définition de la page française.
Mais même dans cette dernière, tu ne peux en général pas envisager $ P(u) $ avec $ u $ endomorphisme d'un $ k $ ev $ E $ si $ P $ est à coefficients dans un corps quelconque $ k^{'} $ sans expliquer comment tu passes de la multiplication extérieure définie sur $ k\times E $ à celle qui serait définie sur $ k^{'} \times E $. S'il y a des cas où c'est à peu près clair implicitement, ce n'est pas le cas en général et les questions d'extension du corps des scalaires n'est pas un attendu du programme.
Les questions de formulation sont essentielles quand tu es enseignant, mais cela n'est peut-être pas ton problème.
Pour ma part, j'ai assez disserté sur cette question et te laisse faire comme tu veux pour cet énoncé et les suivants, puisque tu sembles ne pas vouloir tenir compte de l'aide que constitue ces remarques.
le programme précise qu'il est unitaire sans rappeler sa définition, mais cela ne signifie pas qu'on peut la choisir en fonction de ses goûts. D'ailleurs, tu remarqueras l'emploi de l'article défini "le" dans la suite de mots "Le polynôme minimal" et pas "Un polynôme minimal" et qu'il n'y a pas non plus l'expression "Polynôme minimal à coefficients dans...".
Tu peux aussi regarder
https://en.wikipedia.org/wiki/Minimal_p ... r_algebra)
https://de.wikipedia.org/wiki/Minimalpolynom
https://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio_mínimo
qui sont plus explicites que la définition de la page française.
Mais même dans cette dernière, tu ne peux en général pas envisager $ P(u) $ avec $ u $ endomorphisme d'un $ k $ ev $ E $ si $ P $ est à coefficients dans un corps quelconque $ k^{'} $ sans expliquer comment tu passes de la multiplication extérieure définie sur $ k\times E $ à celle qui serait définie sur $ k^{'} \times E $. S'il y a des cas où c'est à peu près clair implicitement, ce n'est pas le cas en général et les questions d'extension du corps des scalaires n'est pas un attendu du programme.
Les questions de formulation sont essentielles quand tu es enseignant, mais cela n'est peut-être pas ton problème.
Pour ma part, j'ai assez disserté sur cette question et te laisse faire comme tu veux pour cet énoncé et les suivants, puisque tu sembles ne pas vouloir tenir compte de l'aide que constitue ces remarques.
"[...] On dira que le nombre $ L $ est limite de cette suite, si, pour tout nombre réel donné $ \varepsilon $, si petit soit-il, il existe un nombre entier $ n $ tel que l'ont ait $ |L−S_n|<\varepsilon $."
Alain Badiou, Eloge des mathématiques.
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Re: La boîte à outil du collé
R24, je me souviens avoir trouvé ça au lycée parce que ma calculette d’alors (la Tandy pliable) n’avait pas ces deux fonctions dans son BASIC.
INFINITÉSIMAL : On ne sais pas ce que ce c’est, mais a rapport à l’homéopathie.
-+- Gustave Flaubert, Dictionnaire des idées reçues -+-
-+- Gustave Flaubert, Dictionnaire des idées reçues -+-
Re: La boîte à outil du collé
R25 ne devrait pas être difficile à montrer.
Si $ i=0 $, $ a_0=- \sum_{k=1}^{n} a_k c^k=c \sum_{k=1}^{n} a_k c^{k-1} $ donc $ c|a_0 $.
Si $ i\ne 0 $, comme $ c\ne 0 $, donc on divise $ P $ par $ X^i $ et on se ramène au cas précédent.
Si $ i=0 $, $ a_0=- \sum_{k=1}^{n} a_k c^k=c \sum_{k=1}^{n} a_k c^{k-1} $ donc $ c|a_0 $.
Si $ i\ne 0 $, comme $ c\ne 0 $, donc on divise $ P $ par $ X^i $ et on se ramène au cas précédent.
INFINITÉSIMAL : On ne sais pas ce que ce c’est, mais a rapport à l’homéopathie.
-+- Gustave Flaubert, Dictionnaire des idées reçues -+-
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Re: La boîte à outil du collé
R27 : Soit $ a,b \in \mathbb{N}^{*} $ premiers entre eux. On suppose : $ \exists n \in \mathbb{N}, \exists c \in \mathbb{N}, ab={c}^{n} $. Alors $ \exists {c}_1,{c}_2 \in \mathbb{N}, a={c}_{1}^{n} $ et $ b={c}_{2}^{n} $. Ça vient des Oraux X-ENS de chez Cassini.
Re: La boîte à outil du collé
Bonsoir,
Pas grand chose à voir avec la récurrence, plutôt avec l'étude des sous-groupes additifs de $ \mathbb R $.
Pas grand chose à voir avec la récurrence, plutôt avec l'étude des sous-groupes additifs de $ \mathbb R $.
Re: La boîte à outil du collé
Honnêtement, Dattier, utilises-tu ici autre chose que la fait qu'un sous-groupe additif de $ \mathbb R $ engendré par deux réels "sans commune mesure" est dense dans $ \mathbb R $ ?
Re: La boîte à outil du collé
Dattier, tu prends un prétexte pour éviter de répondre à une question purement mathématique.
L'isomorphisme $ (\mathbb R_+^*,\times)\to (\mathbb R,+) $ donné par le logarithme néperien envoie un ensemble contenant $ 1 $, stable par multiplication par $ 3 $ et par division par $ 2 $, sur une partie de $ \mathbb R $ contenant tous les $ a\ln(3)-b\ln(2) $ où $ a $ et $ b $ sont entiers naturels. Une telle partie est dense du fait de l'irrationalité de $ \ln(3)/\ln(2) $, et cette irrationalité se démontre facilement par l'unicité de la décomposition d'un entier en facteurs premiers.
L'isomorphisme $ (\mathbb R_+^*,\times)\to (\mathbb R,+) $ donné par le logarithme néperien envoie un ensemble contenant $ 1 $, stable par multiplication par $ 3 $ et par division par $ 2 $, sur une partie de $ \mathbb R $ contenant tous les $ a\ln(3)-b\ln(2) $ où $ a $ et $ b $ sont entiers naturels. Une telle partie est dense du fait de l'irrationalité de $ \ln(3)/\ln(2) $, et cette irrationalité se démontre facilement par l'unicité de la décomposition d'un entier en facteurs premiers.