La boîte à outil du collé

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Re: La boîte à outil du collé

Message par Dattier » lun. mai 21, 2018 1:34 pm

Bonjour,

R13-14 : une belle propriété sur les polynômes de Bernstein que m'a fait découvrir Oty

viewtopic.php?p=915042#p915042

viewtopic.php?p=915070#p915070

Je pense qu'elles peuvent être trés utile en colle.

Bonne journée.
Raisonnement exact : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus des concernés

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Message par Dattier » lun. mai 21, 2018 3:57 pm

Raisonnement exact : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus des concernés

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Message par Dattier » ven. août 24, 2018 10:53 am

Bonjour,

R16 : Si \( A , B \in M_n(\mathbb R) \) semblable dans $\mathbb C$, alors elles sont semblables dans $\mathbb R$ (par Darkol)

R17 : Si $A \in M_n(\mathbb R)$ possède un polynôme minimale annulateur $P$ à coefficient complexe, alors $\exists c \in \mathbb C^*, c\times P \in \mathbb R [x]$

Bonne journée.
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Message par Dattier » ven. août 24, 2018 2:26 pm

R18 : les nouveaux théorèmes de convergences dominée (voir dans le fil "les dattes à Dattier")

R19 : le théorème de Blass (convergence en milieu hostile)

J'essaierais de donner quelques applications de ce théorème.
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Re: La boîte à outil du collé

Message par kakille » mer. août 29, 2018 8:59 pm

Hello,

R 17 : une matrice carré à coefficients réels possède un polynôme minimal à coefficients réels donc complexes. Le complexe non nul 1 répond à la question.
"[...] On dira que le nombre \( L \) est limite de cette suite, si, pour tout nombre réel donné \( \varepsilon \), si petit soit-il, il existe un nombre entier \( n \) tel que l'ont ait \( |L−S_n|<\varepsilon \)."

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Re: La boîte à outil du collé

Message par Dattier » mer. août 29, 2018 9:02 pm

Bonsoir,

Désolé, mais je ne comprends pas le sens de ton intervention.
As-tu cliqué sur le lien R17 ?
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Re: La boîte à outil du collé

Message par kakille » mer. août 29, 2018 9:25 pm

Hello,

non, mais j'ai bien lu l'énoncé ci-dessous et je pense que ce qui est écrit n'est pas ce que tu as en tête car il dit quelque chose d'évident puisque toute matrice carré réelle possède un polynôme annulateur à coefficients réels.
"[...] On dira que le nombre \( L \) est limite de cette suite, si, pour tout nombre réel donné \( \varepsilon \), si petit soit-il, il existe un nombre entier \( n \) tel que l'ont ait \( |L−S_n|<\varepsilon \)."

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Message par Nabuco » mer. août 29, 2018 9:50 pm

La formulation n'est pas optimale puisque toute matrice possède un polynôme minimal
Il faudrait dire que si M est une matrice réelle carrée le polynôme minimal unitaire de M en tant que matrice de Mn(C) est réel (et le même que celui en tant que matrice réelle). Là on ne se dit pas forcément que le polynôme minimal est considéré en temps que matrice à coefficients complexes

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Message par Dattier » mer. août 29, 2018 9:54 pm

Dattier a écrit :
ven. août 24, 2018 10:53 am
R17 : Si $A \in M_n(\mathbb R)$ possède un polynôme minimale annulateur $P$ à coefficient complexe, alors $\exists c \in \mathbb C^*, c\times P \in \mathbb R [x]$
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Re: La boîte à outil du collé

Message par kakille » mer. août 29, 2018 10:13 pm

Hello Dattier,

pour moi, ce n'est pas plus clair en surlignant en gras. Comme déjà dit, toute matrice carré réelle possède un polynôme minimal, qui est à coefficients réels par définition. Ce dernier est donc aussi à coefficients complexes. Ceci fait que la condition "Si A ..." est automatiquement satisfaite et que la proposition "Il existe..." est vraie de manière évidente.

Bref, que veux-tu dire explicitement ? Peux-tu donner une autre formulation ?
"[...] On dira que le nombre \( L \) est limite de cette suite, si, pour tout nombre réel donné \( \varepsilon \), si petit soit-il, il existe un nombre entier \( n \) tel que l'ont ait \( |L−S_n|<\varepsilon \)."

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Message par Nabuco » mer. août 29, 2018 10:14 pm

Dans tous les cas pour moi la formulation est à changer, le Si étant complètement inutile, toute matrice admet un polynôme minimal annulateur à coefficients complexes.
Pour kakille en fait la formulation polynôme minimal à coefficients complexes signifie polynôme minimal si tu considères la matrice comme une matrice de Mn(C) (à priori pas de raison que ce soit le même que celui dit réel).

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Message par Dattier » mer. août 29, 2018 10:32 pm

$\mathbb R [x] \subset \mathbb C[x]$ donc un polynôme annulateur minimale complexe, peut-être de degré plus petit que celui réel, ou de même degré mais complètement différent (mais pas de degré plus grand).

Aprés qu'est-ce vous proposierez comme énoncé ?

@Kakille : suis le lien et peut-être comprendras-tu mieux, ce que je veux dire.
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Message par Dattier » mer. août 29, 2018 10:38 pm

kakille a écrit :
mer. août 29, 2018 10:13 pm
"Si A ..." est automatiquement satisfaite
Non, le polynôme annulateur minimale ne s'appelle pas forcément P, avec ce "si" je l'impose.

Si $A \in M_n(\mathbb C)$ a coeff réel, possède un polynôme minimale annulateur $P$ à coefficient complexe, alors $\exists c \in \mathbb C^*, c\times P \in \mathbb R [x]$

C'est mieux, pour vous ?
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Re: La boîte à outil du collé

Message par Nabuco » mer. août 29, 2018 10:47 pm

Soit M une matrice de Mn(C). Notons P son polynôme minimal unitaire à coefficients complexes. P est alors à coefficients réels, et c'est le polynôme minimal unitaire à coefficient réels de M.
C'est encore un peu pompeux, mais ça semble mieux. Après ça marche encore si on remplace R par K un corps, et C par L un surcorps de K, si je ne m'abuse.

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Message par Dattier » mer. août 29, 2018 10:52 pm

tu ne dis nul part que M est à coeff réels
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