Formule d'espérance

[matmeca_mcf1]

D'après ce que je vois, le théorème de sommation par paquets vous dit qu'une famille de réels positifs est sommable si et seulement pour n'importe quel partition en paquets, la série correspondante converge et qu'il y a égalité de la somme. L'équivalence vous donne aussi l'égalité quand la série n'est pas sommable (passez à la contraposée dans l'équivalence). Dans tous les cas, on peut sommer par paquets pour les familles de réels positifs. Pour prouver l'égalité quand on intervertit les sommes à partir de la formule de sommation par paquets, on utilise les paquets
$$
I_n=\{(k,n):k\in\mathbb{N}\}\\
J_k=\{(k,n):n\in\mathbb{N}\}
$$
Je pense que c'est fait dans le programme (c'est indiqué pour les familles de complexes mais pas pour les familles de réels positifs).

Pour traiter le cas qui nous intéresse ici, on utilise les fonctions caractéristiques: typiquement, quand on intègre ou qu'on somme avec des bornes variables, le plus sûr est de revenir à des bornes fixes en utilisant des fonctions caractéristiques.
On pose ainsi:
$$
\chi\colon\mathbb{N}^2\to\mathbb{R}^+\\
(k,n)\mapsto\begin{cases}
1&\text{si $k\geq n$}\\
0&\text{si $k<n$}
\end{cases}
$$
Alors on a
$$
\sum_{n=1}^{+\infty } P(X\geq n)
=\sum_{n=1}^{+\infty }\sum_{k=n}^{+\infty} P(X= k)
=\sum_{n=1}^{+\infty }\sum_{k=0}^{+\infty} \chi(k,n)P(X= k)\\
=\sum_{k=0}^{+\infty} \sum_{n=1}^{+\infty }\chi(k,n)P(X= k)
=\sum_{k=0}^{+\infty} \sum_{n=1}^{k}P(X= k)
=\sum_{k=0}^{+\infty} kP(X= k)\\
=E(X)
$$

J'espère que je n'ai rien utilisé de hors-programme.

[darklol]

@matmeca_mcf1 c’est juste que j’ai remarqué que dans des énoncés de concours ou d’exercices de prépa, même pour les familles positives on demande de vérifier la sommabilité avant d’appliquer les théorèmes (cf aussi réponse de noro; il commence par justifier la sommabilité). Je n’ai justement pas l’impression que l’idée qu’on puisse tout le temps appliquer les théorèmes de sommation pour les familles positives sans avoir besoin de vérifier d’hypothèses soit explicitement au programme, ce que je trouve étrange.

[BobbyJoe]

C'est écrit implicitement (trop?) dans le programme (théorème admis pour l'interversion de séries d'intégrales où tout est positif).
Il ne reste plus qu'à remarquer qu'une série et une intégrale sont les même objets...
Blague à part, je pense qu'il vaut mieux (dans le cadre de classes prépas) faire les choses "laborieusement" (justifier des CV inutiles) pour ne pas irriter des examinateurs tatillons ^^
Ce n'est pas la seule chose curieuse au niveau de la limitation des difficultés techniques : la non utilisation du formalisme des lim sup et inf en est une autre par exemple...

[matmeca_mcf1]

C'est vrai que ce n'est pas dit explicitement. C'est vraiment bizarre. Cela simplifierait beaucoup la rédaction.

Dans le programme de mathématiques de MP page 15/30.

Théorème de sommation par paquets :
si $ (I_n)_{n\in\mathbb{N}} $ est une partition de $ I $ et $ (u_i)_{i\in I} $ une famille de réels positifs,alors la
famille $ (u_i)_{i\in I} $ est sommable si et seulement si:

• Pour tout entier $ n $ la famille $ (u_i)_{i\in I_n} $ est sommable.
• La série $ \sum\left({\displaystyle\sum_{i \in I_n}}u\right) $ converge.

Dans ce cas:
$$
\sum_{i\in I}u_i=\sum_{n=0}^{+\infty} \sum_{i\in I_n}u_i .
$$

Est-ce que dans une copie de concours, cela passerait de prendre la contraposée de cette équivalence pour en déduire la sommation par paquets des familles de réels positifs dans le cas non sommable?