Un reste borné

[gonfricks]

Bonjour , dans la question 6a de l’epreuve x 2015 Maths 2 je pense qu il y a une erreur dans le corriger A qui figure dans l ups , voici l enonce http://sujets.net/sujets/xens/2015/mp/maths2.pdf
Les deux autres corrigers présentent la même resolution pour cette question , est ce possible de la faire par une methode plus directe ? .

[matmeca_mcf1]

Je n'ai pas lu le corrigé mais la question 6a) ne me semble pas difficile. Le domaine de convergence est réduit à $ \{0\} $ car le terme sous la signe somme diverge si $ \lvert x\rvert>0 $. Ensuite, il suffit d'utiliser la question 5:
$$
R_N(x)=F(x)-S_N(x).
$$
Comme $ F(x) $ ne dépend pas de $ N $ et que $ (S_N(x))_{N\geq 1} $ n'est pas bornée alors $ (R_N(x)_{N\in\mathbb{N}} $ ne peut pas être bornée non plus.

Je n'ai pas essayé de rédiger comme on doit le faire aux concours.

[oty20]

je propose ceci : Par changement de variable $ u=\frac{t}{x} $ ,

$ |R_{N}(x)|\geq N! \int_{\frac{1}{x}}^{\infty} \exp(-u) u^{-(N+1)} du $

Ici , pour minorer la décroissance de l'exponentielle ne nous arrange pas... , que faire ?

soit $ a>0 $ ,qu'on choisira plus tard , Observons que :
$ (x^{a}e^{-x})'=ax^{a-1}e^{-x} -x^{a}e^{-x}=x^{a-1}e^{-x}(a-x) >0 $ .Donc pour $ a $ assez grand , on a :

$ |R_{N}(x)|\geq N! \int_{\frac{1}{x}}^{\infty} u^{a} \exp(-u) u^{-(N+a+1)} du
\\~~~~~~~~~~~~~\geq N! x^{-a} e^{-\frac{1}{x}} \int_{\frac{1}{x}}^{\infty} u^{-(N+a+1)} du
\\~~~~~~~~~~~~~~\geq N! e^{-\frac{1}{x}} \frac{x^{N}}{N+a}
\\~~~~~~~~~~~~~~~\geq\frac{1}{2} (N-1)! x^{N} e^{-\frac{1}{x}} $

pour $ N \geq a $ , De la on peut facilement conclure .....