J'ai trouvé un exercice intrigant dans le poly d'algèbre linéaire sur le site d'Alain Troesch :
Soit $ n \in \mathbb{N}^* $. Montrer que pour toute famille $ (X_i)_{i \in [\![ 1, n+1 ]\!]} $ de $ n+1 $ parties non vides de $ [\![ 1,n ]\!] $, il existe des sous-ensembles disjoints $ I $ et $ J $ de $ [\![ 1, n+1 ]\!] $ tels que :
$$
\bigcup_{i \in I} X_i = \bigcup_{j \in J} X_j
$$
À partir de là, je n'arrive pas à conclure.Les vecteurs indicateurs des parties $ X_i $ dans le $ \mathbb{F}_2 $-espace vectoriel $ \mathbb{F}_2^n $ forment une famille liée, et la relation linéaire aboutit à l'existence de $ C \in \mathcal{P}([\![1, n+1]\!]) $ tel que $ \vert C \vert \geqslant 2 $ et :
$$
\sum_{i \in C} \mathbb{1}_{X_i} \equiv 0 \ [2]
$$
i.e. l'existence de $ A,B \in \mathcal{P}([\![1, n+1]\!]) \backslash \{\emptyset\} $ tels que :
$$
\bigoplus_{i \in A} X_i = \bigoplus_{j \in B} X_j
$$
où $ \oplus = \Delta $ est l'opérateur de différence symétrique.
En bonus, je suis intéressé par toute résolution élémentaire qui n'utilise pas l'algèbre linéaire.
Merci.