Bonsoir,
Je coince sur une question qui me semble assez simple, mais je me trompe peut-être.
On prend $M$ une matrice symétrique définie positive 2x2. On me fait d'abord montrer (ENS Maths C 2014) qu'il existe $A$ inversible telle que $^tAA=M$ ce qui est assez simple avec le théorème spectral.
On fixe ensuite une telle matrice A quelconque. Plus loin, j'aimerais utiliser (et le sujet m'invite à utiliser) le fait que les valeurs propres de $A$ sont les racines carrées des valeurs propres de $M$ (ce qui fait sens car celles-ci sont strictement positives).
J'ai tout essayé, de prendre un vecteur propre de $A$, de $M$, une base orthonormée de vecteurs propres de $M$... Rien n'y fait, je ne parviens pas à ce résultat qui semble pourtant immédiat.
Merci d'avance pour toute aide
Racines de valeurs propres
Re: Racines de valeurs propres
On peut (probablement doit) choisir $ A $ symétrique dans la première partie.
Si $ A $ est vraiment quelconque, les valeurs propre de $ ^tAA $ ne sont pas
forcément les carrés des valeurs propres de $ A $. Même si $ A $ est diagonalisable (dans une base non orthonormale).
Exemple:
$$
A=\left[\begin{array}{cc}
1&1\\
0&2
\end{array}
\right]\\
^tAA=\left[\begin{array}{cc}
1&1\\
1&5
\end{array}
\right]
$$
Les valeurs propre de $ A $ sont $ \{1,2\} $. Les valeurs propres de $ ^tAA $ sont $ \{3-\sqrt{5},3+\sqrt{5}\} $.
Si $ A $ est vraiment quelconque, les valeurs propre de $ ^tAA $ ne sont pas
forcément les carrés des valeurs propres de $ A $. Même si $ A $ est diagonalisable (dans une base non orthonormale).
Exemple:
$$
A=\left[\begin{array}{cc}
1&1\\
0&2
\end{array}
\right]\\
^tAA=\left[\begin{array}{cc}
1&1\\
1&5
\end{array}
\right]
$$
Les valeurs propre de $ A $ sont $ \{1,2\} $. Les valeurs propres de $ ^tAA $ sont $ \{3-\sqrt{5},3+\sqrt{5}\} $.
Dernière modification par matmeca_mcf1 le 05 avr. 2018 23:35, modifié 1 fois.
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP) filière matmeca
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.
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Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.
Re: Racines de valeurs propres
Le sujet impose de choisir $A$ quelconque qui vérifie cela, donc j'imagine que le résultat que j'essaie d'utiliser doit se trouver autrement...
Cependant, le sujet ne nomme pas les valeurs propres de $M$, ce qui me faisait justement penser qu'il pourrait y avoir un lien entre celles de $A$ et de $M$...?
Cependant, le sujet ne nomme pas les valeurs propres de $M$, ce qui me faisait justement penser qu'il pourrait y avoir un lien entre celles de $A$ et de $M$...?
Re: Racines de valeurs propres
Sur quelle question comptiez vous utiliser ce résultat?
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP) filière matmeca
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.
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Re: Racines de valeurs propres
Je m'en servais à la question 5 pour exposer un vecteur qui atteignait ce maximum dans l'image.
Grâce à votre question, je viens de me rendre compte qu'il est totalement inutile de passer par $A$, et que passer par $M$ suffit en fait.
Merci beaucoup d'avoir pris le temps de clarifier cela pour moi (et pour vos efforts sur le forum, je ne crois pas que c'est la première fois qu'on se croise!).
Grâce à votre question, je viens de me rendre compte qu'il est totalement inutile de passer par $A$, et que passer par $M$ suffit en fait.
Merci beaucoup d'avoir pris le temps de clarifier cela pour moi (et pour vos efforts sur le forum, je ne crois pas que c'est la première fois qu'on se croise!).