Questions d'intégrabilité et Cauchy-Schwarz

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Questions d'intégrabilité et Cauchy-Schwarz

Message par Osvatski » 09 avr. 2018 23:21

Bonsoir,

Je veux vérifier la rédaction de ma réponse pour une question d'inégalité sur R à l'aide de Cauchy-Schwarz . Je m'explique: étant donné f et g deux fonctions continues ( avec g positive ) , f²g et g sont intégrables sur R , on veut montrer que fg est intégrable sur R. Donc je considère la fonction $ F(x)=\int_{0}^{x}\left | f(t) \right |g(t)dt $, on applique Cauchy-schwarz on obtient $ \left | \int_{0}^{x}\left | f(t) \right |g(t)dt \right |\leq (\int_{0}^{x}f(t)^2g(t)dt)(\int_{0}^{x}g(t)dt)\leq (\int _\mathbb{R}f^2g)(\int _\mathbb{R}g) $, donc $ F $ est bornée et par conséquent fg est intégrable sur [0,+infini[, on procède de même pour ]-infini,0] en considérant $ G(x)=\int_{-x}^{0}\left | f(t) \right |g(t)dt $ , alors par la même majoration, on trouve que G est bornée donc fg est intégrable sur ]-infini,0], d'où fg est intégrable sur R ?

Merciiii
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Re: Questions d'intégrabilité et Cauchy-Schwarz

Message par darklol » 09 avr. 2018 23:26

Il manque les racines autour des intégrales dans ton inégalité de Cauchy-Schwarz. Aussi, tu pourrais même regarder directement l’intégrale sur $ [-x,x], x\geq0 $ pour réunir les deux cas. À part ça c’est ok.
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Re: Questions d'intégrabilité et Cauchy-Schwarz

Message par oty20 » 09 avr. 2018 23:28

cela sent l'odeur du préliminaire de l'x 2017 maths 2 .

Après ta fonction |f(t)|g est positive , il suffit de montrer la convergence de l’intégrale , pour cela tu as Grand F est croissante et CS te dit qu'elle est majorer d'ou l'existence de la limite en +\infty d’après le théorème de la limite monotone .
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Re: Questions d'intégrabilité et Cauchy-Schwarz

Message par Osvatski » 09 avr. 2018 23:37

darklol a écrit :
09 avr. 2018 23:26
Il manque les racines autour des intégrales dans ton inégalité de Cauchy-Schwarz. Aussi, tu pourrais même regarder directement l’intégrale sur $ [-x,x], x\geq0 $ pour réunir les deux cas. À part ça c’est ok.
Hmm j'ai appliqué à $ \left | f(t)\right |\sqrt{(g(t)} $ et $ \sqrt{g(t)} $ donc pas de racines nop ?
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Re: Questions d'intégrabilité et Cauchy-Schwarz

Message par Osvatski » 09 avr. 2018 23:39

darklol a écrit :
09 avr. 2018 23:26
Il manque les racines autour des intégrales dans ton inégalité de Cauchy-Schwarz. Aussi, tu pourrais même regarder directement l’intégrale sur $ [-x,x], x\geq0 $ pour réunir les deux cas. À part ça c’est ok.
Je ne sais pas si on peut réunir les deux directement en considérant l'intégrale de [-x,x] ... problème de limite ..
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Re: Questions d'intégrabilité et Cauchy-Schwarz

Message par Osvatski » 09 avr. 2018 23:40

oty20 a écrit :
09 avr. 2018 23:28
cela sent l'odeur du préliminaire de l'x 2017 maths 2 .

Après ta fonction |f(t)|g est positive , il suffit de montrer la convergence de l’intégrale , pour cela tu as Grand F est croissante et CS te dit qu'elle est majorer d'ou l'existence de la limite en +\infty d’après le théorème de la limite monotone .
Bingoo!
Et pour Grand G, elle est décroissante et minorée d'après CS d'où l'existence de la limite en +infinity c ça ?
Question : Faut tout rédiger ? ...
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Re: Questions d'intégrabilité et Cauchy-Schwarz

Message par Desert » 10 avr. 2018 03:59

Osvatski a écrit :
09 avr. 2018 23:37
darklol a écrit :
09 avr. 2018 23:26
Il manque les racines autour des intégrales dans ton inégalité de Cauchy-Schwarz. Aussi, tu pourrais même regarder directement l’intégrale sur $ [-x,x], x\geq0 $ pour réunir les deux cas. À part ça c’est ok.
Hmm j'ai appliqué à $ \left | f(t)\right |\sqrt{(g(t)} $ et $ \sqrt{g(t)} $ donc pas de racines nop ?
Image
C'est sur [0,1] mais c'est vrai aussi sur [-x,x]

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Re: Questions d'intégrabilité et Cauchy-Schwarz

Message par darklol » 10 avr. 2018 07:16

Merci de douter de ma capacité à résoudre un exercice élémentaire...

J’ai dit qu’il manquait des racines « autour des intégrales », regarde donc la formule de Désert. C’est une erreur que les élèves font très souvent et qui fait perdre automatiquement toute crédibilité, que ce soit à l’écrit ou à l’oral.

D’autre part non il n’y a pas de problème de limite, l’intégrale sur $ [-x,x], x\geq0 $ converge évidemment vers l’integralle sur $ \mathbb{R} $ en croissant quand $ x \to \infty $. Tu n’avais pas l’air de douter quant à la convergence de l’intégrale sur $ [0,x] $, alors t’as juste à couper en deux l’intégrale sur $ [-x,x] $ au niveau de 0 pour t’en convaincre.
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Re: Questions d'intégrabilité et Cauchy-Schwarz

Message par Hibiscus » 10 avr. 2018 07:44

darklol a écrit :
10 avr. 2018 07:16
C’est une erreur que les élèves font très souvent et qui fait perdre automatiquement toute crédibilité, que ce soit à l’écrit ou à l’oral.
Je confirme...... :cry:
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Re: Questions d'intégrabilité et Cauchy-Schwarz

Message par Osvatski » 10 avr. 2018 09:45

darklol a écrit :
10 avr. 2018 07:16
Merci de douter de ma capacité à résoudre un exercice élémentaire...

J’ai dit qu’il manquait des racines « autour des intégrales », regarde donc la formule de Désert. C’est une erreur que les élèves font très souvent et qui fait perdre automatiquement toute crédibilité, que ce soit à l’écrit ou à l’oral.

D’autre part non il n’y a pas de problème de limite, l’intégrale sur $ [-x,x], x\geq0 $ converge évidemment vers l’integralle sur $ \mathbb{R} $ en croissant quand $ x \to \infty $. Tu n’avais pas l’air de douter quant à la convergence de l’intégrale sur $ [0,x] $, alors t’as juste à couper en deux l’intégrale sur $ [-x,x] $ au niveau de 0 pour t’en convaincre.
Ahh ouuiii les 1/2, c'est vrai t'as raison ... je suis désolé j'avais écrit le truc vite fait j'ai pas fait attention!!( et euh nan je n'ai pas douté de ta capacité à résoudre ce type d'exo ^^)
Hmm oui je vois, donc je peux directement appliquer CS sur [-x,x] et conclure ( car la fonction $ F(x)=\int_{-x}^{x}\left | f(x) \right |g(x)dx $ est croissante et majorée c'est ça ?) Merciiii en tout cas ^^
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