Matrices semblables et endomorphismes

[Des études]

Voilà l'énoncé: [extrait]

Soit $ A_n $ et $ B_n $ deux matrices de $ M_n $($ \mathbb{R} $) représentant un même endomorphisme dans deux bases de $ \mathbb{R} $$ ^n $ :
$ j $ $ \in ${$ {1,2,...,n} $}

Montrer qu'Il existe une matrice $ B_n $ semblable à $ A_n $ telle que:

$ b_{i,i} $ $ = $ $ a_{j,j} $ et $ b_{j,j} $ $ = $ $ a_{i,i} $

et: $ b_{k,k} $ $ = $ $ a_{k,k} $ pour tout $ k $$ \neq $$ (i,j) $

PS: Quant à la méthode que j'ai utilisée, j'ai fait intervenir une nouvelle base de vecteurs $ \alpha $$ _i $ pour pouvoir permuter les vecteurs $ e_j $ et $ e_i $ de la base canonique de $ \mathbb{R} $$ ^n $.
Mais c'est lourd comme méthode(pas très efficace) et j'espère, par ce post, que vous puissiez m'aider à trouver d'autres méthodes bien plus aisées que celle-là pour m'en sortir.

Mais motivez-vous!

Bonne soirée et merci pour votre temps.

[JeanN]

Pourquoi estimes tu que ce n’est pas une méthode très efficace ?

[bullquies]

Je vois pas ce qu'on peut faire de plus efficace à vrai dire.

Non seulement la condition est vérifiable en deux lignes, mais tu as même les matrices de passage.

[Des études]

D'accord, mais si $ A_n $ et $ B_n $ ne représentaient pas le même endomorphisme?
Les expressions logiques à démontrer seront différentes de celle-là et il en est de même pour la méthode qu'on va utiliser, n'est-ce pas? De plus, je ne vois pas pourquoi les gens doivent rester attachés à une seule méthode dans la résolution de leurs devoirs. La multitude de méthodes est-parfois- une bonne arme..

Quelle est votre arme face à ça? Je parle bien de diversité d'armes. (je ne troll vraiment pas)

Excusez-moi si le post ne vous a pas été assez clair. C'est en fait ma faute ..

[siro]

En tout cas, pour la bonne lecture des énoncés, il est recommandé d'utiliser une seule et même notation pour tout le monde ; utilise le _{} plutôt que le underset{}, ça sera plus lisible : $ A_n $ (et plus rapide à taper).

[JeanN]

Et recopier un énoncé correctement est aussi une bonne arme. Tu devrais commencer par ça . Ton message initial n’a aucun sens en fait même si un lecteur avisé peut reconstituer quelque chose de mathématiquement correct.

[Des études]

En tout cas, pour la bonne lecture des énoncés, il est recommandé d'utiliser une seule et même notation pour tout le monde ; utilise le _{} plutôt que le underset{}, ça sera plus lisible : $ A_n $ (et plus rapide à taper).

Et recopier un énoncé correctement est aussi une bonne arme.

Ok je pense l'avoir réglé .Merci.

[siro]

Cela ne change rien au fait que l'énoncé est complètement illisible. Relisez-le et corrigez-le, parce que là, si je résume, il y a marqué :
"soient A et B semblables [...] montrer qu'il existe B semblable à A telle que [...]"

Vous pouvez pas définir B validant une propriété P et ensuite demander si B vérifiant P' existe... ça n'a aucun sens en français, et pas plus en maths.

[Des études]

Une propriété (*) qui a été démontrée dans l'énoncé:
Si une matrice $ A_n $ est non scalaire, il existe un vecteur $ X $ de $ \mathbb{R} $$ _n $, tel que $ X $ et $ AX $ ne soient pas colinéaires.

La question que je vous ai posée

n’a aucun sens en fait même si un lecteur avisé peut reconstituer quelque chose de mathématiquement correct.

car j'ai voulu utiliser ma première méthode pour m'attaquer à une autre question de l'énoncé mais ça ne marche pas .

Je vous ai demandé de répondre à la question 1) avec d'autres méthodes pour que ça soit un peu délicat pour la suite, il semble bien que mon discours ne vous a pas été convaincant..

La question est la suivante:
On se donne une matrice $ A_n $ de $ M_n $($ \mathbb{R} $) de trace nulle (alors elle n'est pas scalaire) et on se propose de démontrer qu'il existe une matrice $ B_n $ semblable à A ayant tous ses coefficients diagonaux nuls. Montrer que si $ A_n $ est non nulle, il existe une base:{$ X_1 $$ ... $$ X_n $} de $ \mathbb{R} $$ ^n $ telle que $ A $$ X_1 $$ = $$ X_2 $

Ce que j'ai fait:

Il est clair que $ A_n $ est non scalaire, d'après la propriété (*) la famille $ (A.X , X) $ est libre pour tout X $ \in $ $ \mathbb{R} $$ ^n $

On pose:{$ X_1 $$ ... $$ X_n $} (autre base de $ \mathbb{R} $$ ^n $ )
On attribue $ X_1 $ à $ X $ alors $ (A $$ X_1 $$ , $$ X_1 $$ ) $ est libre
Alors $ A. $$ X_1 $$ \in $$ Vect( $$ X_i $$ ) $ pour tout $ i $$ \neq $$ 1 $

càd: $ A. $$ X_1 $$ = $$ \sum_{k=2}^{n} $$ \alpha $$ _k $$ X_k $
On prend $ \alpha $$ _k $$ = $$ 0 $ pour tout $ k $$ \neq $$ 2 $ (ai-je le droit de faire ça?)

Il existe donc $ \alpha $$ _2 $=1 (caractéristique de la base qu'on a choisie) tel que: $ A $$ X_1 $$ = $$ \alpha $$ _2 $$ X_2 $$ = $$ X_2 $ (de n'importe quoi )

Je n'arrive pas à appliquer ladite méthode car $ B_n $ n'a pas été évoquée ici, merci de m'aider.

[siro]

Quelle question 1 ? Vous ne numérotez même pas les questions.

Si vous voulez faire des maths, vous allez devoir comprendre tout d'abord "ce qui se conçoit bien s'énonce clairement". Là vous ne comprenez même pas vos propres énoncés. Personnellement, je ne fais pas de décryptage d'énoncé.

Ah, et la matrice nulle est de trace nulle et scalaire.

Bref.

Cdt.
Des bisous.