Densité des polynomes de Laguerre

[prepamath]

Bonjour, à tous je bloque sur l'exercice suivant :

On introduit Tn : $ t \mapsto \frac{1}{n!} e^{t} \frac{\mathrm{d^{n}} t^{n}e^{-t}}{\mathrm{d^{n}} x} $

et le produit scalaire : <f,g> = $ \int_{0}^{\infty} f(t)g(t)e^{-t}dt $ et || || la norme associée

sur le sev E des fonctions continues de R+ dans R continue telle que $ \int_{0}^{\infty} f(t)f(t)e^{-t}dt $ existe

On note P l'ensemble des polynomes Tn. On veut montrer que P est dense dans E pour || ||.

Pour cela, j'ai montré ( guidé par les questions du sujet) que les fk :$ t \mapsto e^{-kt} $ sont dans l'adhérence de P.
et que l'ensemble des fonctions continues de R+ dans R qui convergent en +\infty sont dans l'adhérence de l'ensemble des fk pour la norme de la convergence uniforme.

Ensuite on nous demande de conclure. Mon idée était d'approcher x $ \mapsto \int_{0}^{x} f(t)²e^{-t}dt $ par des fk car c'est une fonction qui converge en + l'infini mais je ne parviens pas à faire le lien avec la norme || || ensuite... car c'est plutôt majorer $ int_{0}^{\infty} (f(t)-g(t))²e^{-t}dt $ avec g combinaison linéaire de fk que je veux majorer...

Merci à vous

[Leo11]

Si j'ai bien compris, en notant Q l'ensemble des fk et R l'ensemble des fcts qui cv en +oo, tu as montré que $ Q \subset \overline{P} $ et $ R \subset \overline{Q} $ et tu veux $ E \subset \overline{P} $.
Alors comme $ Q \subset R $ tu as la même inclusion pour leur adhérence donc $ R= \overline{Q} $ car $ R= \overline{R} $. Or $ Q \subset \overline{P} $ donc en passant à l'adhérence $ R \subset \overline{P} $.Or, $ E \subset R $ donc $ E \subset \overline{P} $.

[Samuel.A]

E inclus dans R ?
Les polynômes sont dans E mais pas dans R s'ils ne sont pas constants

[BijouRe]

Pour conclure il faut justifier qu'une fonction de l'espace E peut être approché par une fonction qui converge en l'infini. Sachant que tu as une info sur son comportement en l'infini étant donné que l'intégrale existe