Sous-espace vectoriel fermé
Re: Sous-espace vectoriel fermé
J'ai du mal à vous suivre. Je ne vois pas pourquoi vous dited que la compacité est plus intrinsèque que le fait d'être fermé, puisque comme vous l'avez dit ces deux propriétés dépendent de l'espace sur lequel on se place.
Je crois qu'il y avait juste mésentente sur ce qu'on appelle Bolzano-Weierstrass, mais ça doit revenir au même.
Je crois qu'il y avait juste mésentente sur ce qu'on appelle Bolzano-Weierstrass, mais ça doit revenir au même.
Re: Sous-espace vectoriel fermé
@Sylve Je pense que ces subtilités topologiques peuvent justement être un peu trop subtiles pour un élève de prépa. Commence par méditer cette phrase de matmeca_mcf1:
Appelons B la boule unité fermé de E. $ B\cap A $ est fermée dans $ A $ mais $ B\cap A $ n'est pas forcément fermé dans $ E $.
ENS Lyon
Ingénieur de recherche
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Re: Sous-espace vectoriel fermé
Effectivement pardon, c'est seulement un $ \mathbb{Q} $-espace vectoriel.
Je voulais dire que c'était étrange alors que le théorème ne s'applique pas à $ \mathbb{Q} $, qui est un ouvert, mais comme l'a signalé matmeca
matmeca_mcf1 a écrit : ↑16 avr. 2018 17:50Tout ensemble est fermé dans lui-même. Et ouvert dans lui-même.
Re: Sous-espace vectoriel fermé
C'est l'idée de fermé relatif ?
2015-2016 : MPSI Janson de Sailly
2016-2017 : MP* Janson de Sailly
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Re: Sous-espace vectoriel fermé
Vaut mieux que tu fasses la bourde ici que pendant tes concours.
Chaque vénérable chêne a commencé par être un modeste gland. Si on a pensé à lui pisser dessus.
Re: Sous-espace vectoriel fermé
ne t’inquiète pas , on va pas te sortir Q ou Z ou N dans les écrits , a part si tu passes x-ens .
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .
Re: Sous-espace vectoriel fermé
Hum, j'ai médité la chose et ne vois pas le problème dans ce que j'ai écrit...
Si je suis mon cours, les boules d'une partie A d'un espace vectoriel normé (E, ||.||) sont les boules de E intersectées avec A. On définit ainsi une topologie induite sur A, et on parle alors d'ouverts et de fermés relatifs à A.
Soit E un evn et F un sev de E et A une partie de F.
On n'a pas : A compact pour la topologie induite sur F implique A compact de E.
Exemple : ]0;1] est un compact de ]0,1] mais pas de R.
On n'a pas non plus : A fermé de F (i.e. fermé relatif à F) implique A fermé de E.
Exemple : Même exemple.
Est-ce correct ?
Edit : Un problème peut-être est de parler de compact de ]0;1]. Pas sûr que ça soit légal. Du moins en cours on a vu que des compacts d'espaces vectoriels.
Si je suis mon cours, les boules d'une partie A d'un espace vectoriel normé (E, ||.||) sont les boules de E intersectées avec A. On définit ainsi une topologie induite sur A, et on parle alors d'ouverts et de fermés relatifs à A.
Soit E un evn et F un sev de E et A une partie de F.
On n'a pas : A compact pour la topologie induite sur F implique A compact de E.
Exemple : ]0;1] est un compact de ]0,1] mais pas de R.
On n'a pas non plus : A fermé de F (i.e. fermé relatif à F) implique A fermé de E.
Exemple : Même exemple.
Est-ce correct ?
Edit : Un problème peut-être est de parler de compact de ]0;1]. Pas sûr que ça soit légal. Du moins en cours on a vu que des compacts d'espaces vectoriels.
Re: Sous-espace vectoriel fermé
]0,1] n'est pas un compact de ]0,1]. En fait, un ensemble n'est pas un compact de/dans. Il est un compact (pour une certaine norme/distance/topologie) ou il n'est pas un compact.
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP) filière matmeca
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP) filière matmeca
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.