Sous-espace vectoriel fermé

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Re: Sous-espace vectoriel fermé

Message par Sylve » 16 avr. 2018 18:03

J'ai du mal à vous suivre. Je ne vois pas pourquoi vous dited que la compacité est plus intrinsèque que le fait d'être fermé, puisque comme vous l'avez dit ces deux propriétés dépendent de l'espace sur lequel on se place.

Je crois qu'il y avait juste mésentente sur ce qu'on appelle Bolzano-Weierstrass, mais ça doit revenir au même.

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Re: Sous-espace vectoriel fermé

Message par darklol » 16 avr. 2018 18:10

@Sylve Je pense que ces subtilités topologiques peuvent justement être un peu trop subtiles pour un élève de prépa. Commence par méditer cette phrase de matmeca_mcf1:
Appelons B la boule unité fermé de E. $ B\cap A $ est fermée dans $ A $ mais $ B\cap A $ n'est pas forcément fermé dans $ E $.
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Re: Sous-espace vectoriel fermé

Message par mechiche » 16 avr. 2018 18:15

siro a écrit :
16 avr. 2018 17:01
mechiche a écrit :
16 avr. 2018 16:08
Merci à vous deux pour vos réponses, je comprends maintenant.

Dernière petite question ? $ \mathbb{Q} $ est bien un $ \mathbb{R} $-espace vectoriel de dimension $ 1 $ non ?
Bah non, si c'était un sev de R, alors pour tout u \in R et tout X \Q, u.X \in Q. Or pour u = \sqrt(2) et X = 1 \in Q, ça ne fonctionne pas.

Tout R-ev a la puissance du continu en fait. (sauf {0})
Effectivement pardon, c'est seulement un $ \mathbb{Q} $-espace vectoriel.
Je voulais dire que c'était étrange alors que le théorème ne s'applique pas à $ \mathbb{Q} $, qui est un ouvert, mais comme l'a signalé matmeca
matmeca_mcf1 a écrit :
16 avr. 2018 17:50
Tout ensemble est fermé dans lui-même. Et ouvert dans lui-même.

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Re: Sous-espace vectoriel fermé

Message par BijouRe » 16 avr. 2018 18:16

C'est l'idée de fermé relatif ?
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Re: Sous-espace vectoriel fermé

Message par darklol » 16 avr. 2018 18:24

mechiche a écrit :
16 avr. 2018 18:15
$ \mathbb{Q} $, qui est un ouvert
$ \mathbb{Q} $ n’est pas un ouvert de $ \mathbb{R} $.
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Re: Sous-espace vectoriel fermé

Message par mechiche » 16 avr. 2018 18:49

darklol a écrit :
16 avr. 2018 18:24
mechiche a écrit :
16 avr. 2018 18:15
$ \mathbb{Q} $, qui est un ouvert
$ \mathbb{Q} $ n’est pas un ouvert de $ \mathbb{R} $.
En effet. Les concours s'annoncent bien :?

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Re: Sous-espace vectoriel fermé

Message par siro » 16 avr. 2018 18:55

Vaut mieux que tu fasses la bourde ici que pendant tes concours.
Chaque vénérable chêne a commencé par être un modeste gland. Si on a pensé à lui pisser dessus.

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Re: Sous-espace vectoriel fermé

Message par oty20 » 16 avr. 2018 19:13

mechiche a écrit :
16 avr. 2018 18:49

En effet. Les concours s'annoncent bien :?

ne t’inquiète pas , on va pas te sortir Q ou Z ou N dans les écrits , a part si tu passes x-ens .
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .

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Re: Sous-espace vectoriel fermé

Message par Sylve » 16 avr. 2018 20:56

Hum, j'ai médité la chose et ne vois pas le problème dans ce que j'ai écrit...

Si je suis mon cours, les boules d'une partie A d'un espace vectoriel normé (E, ||.||) sont les boules de E intersectées avec A. On définit ainsi une topologie induite sur A, et on parle alors d'ouverts et de fermés relatifs à A.

Soit E un evn et F un sev de E et A une partie de F.

On n'a pas : A compact pour la topologie induite sur F implique A compact de E.
Exemple : ]0;1] est un compact de ]0,1] mais pas de R.

On n'a pas non plus : A fermé de F (i.e. fermé relatif à F) implique A fermé de E.
Exemple : Même exemple.

Est-ce correct ?

Edit : Un problème peut-être est de parler de compact de ]0;1]. Pas sûr que ça soit légal. Du moins en cours on a vu que des compacts d'espaces vectoriels.

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Re: Sous-espace vectoriel fermé

Message par matmeca_mcf1 » 16 avr. 2018 21:33

Sylve a écrit :
16 avr. 2018 20:56
On n'a pas : A compact pour la topologie induite sur F implique A compact de E.
Exemple : ]0;1] est un compact de ]0,1] mais pas de R.
]0,1] n'est pas un compact de ]0,1]. En fait, un ensemble n'est pas un compact de/dans. Il est un compact (pour une certaine norme/distance/topologie) ou il n'est pas un compact.
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP) filière matmeca
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.

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