Sous-espace vectoriel fermé
Publié : 16 avr. 2018 15:08
Bonjour,
Je viens d'apprendre (oui, à quelques jours des concours...) que dans un espace vectoriel normé, tout sous-espace vectoriel de dimension finie était fermé.
J'ai essayé de démontrer ce théorème simplement avec la caractérisation séquentielle. En recherchant sur le net, jai vu plusieurs démo un peu compliquée, dont une utilisant un projecteur que je comprends bien, mais aucune faisant comme moi je l'avais fait. Ai-je fais une erreur quelque part ?
Voici ma démo : Soit $ E $ un espace vectoriel normé et $ A $ un sous-espace vectoriel de dimension finie de $ E $. Soit $ (a_n)\in A^{\mathbb{N}} $ une suite convergente d'éléments de $ A $ (une telle suite existe car $ A \not = \emptyset $). Cette suite ne converge peut-être pas vers un élément de $ A $ mais elle est bornée car convergente. Or d'après Bolzano-Weierstrass, en dimension finie, de toute suite bornée on peut extraire une suite convergente. Donc $ (a_n) $ a une valeur d'adhérence $ \alpha \in A $, et puisque $ (a_n) $ converge, $ (a_n) $ converge donc vers $ \alpha $. Donc toute suite convergente d'éléments de $ A $ converge vers un élément de $ A $. Donc $ A $ est fermé.
Qu'en pensez-vous ?
Merci d'avance
Je viens d'apprendre (oui, à quelques jours des concours...) que dans un espace vectoriel normé, tout sous-espace vectoriel de dimension finie était fermé.
J'ai essayé de démontrer ce théorème simplement avec la caractérisation séquentielle. En recherchant sur le net, jai vu plusieurs démo un peu compliquée, dont une utilisant un projecteur que je comprends bien, mais aucune faisant comme moi je l'avais fait. Ai-je fais une erreur quelque part ?
Voici ma démo : Soit $ E $ un espace vectoriel normé et $ A $ un sous-espace vectoriel de dimension finie de $ E $. Soit $ (a_n)\in A^{\mathbb{N}} $ une suite convergente d'éléments de $ A $ (une telle suite existe car $ A \not = \emptyset $). Cette suite ne converge peut-être pas vers un élément de $ A $ mais elle est bornée car convergente. Or d'après Bolzano-Weierstrass, en dimension finie, de toute suite bornée on peut extraire une suite convergente. Donc $ (a_n) $ a une valeur d'adhérence $ \alpha \in A $, et puisque $ (a_n) $ converge, $ (a_n) $ converge donc vers $ \alpha $. Donc toute suite convergente d'éléments de $ A $ converge vers un élément de $ A $. Donc $ A $ est fermé.
Qu'en pensez-vous ?
Merci d'avance