Sous-espace vectoriel fermé

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Sylve
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Re: Sous-espace vectoriel fermé

Message par Sylve » lun. avr. 16, 2018 6:03 pm

J'ai du mal à vous suivre. Je ne vois pas pourquoi vous dited que la compacité est plus intrinsèque que le fait d'être fermé, puisque comme vous l'avez dit ces deux propriétés dépendent de l'espace sur lequel on se place.

Je crois qu'il y avait juste mésentente sur ce qu'on appelle Bolzano-Weierstrass, mais ça doit revenir au même.

darklol
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Re: Sous-espace vectoriel fermé

Message par darklol » lun. avr. 16, 2018 6:10 pm

@Sylve Je pense que ces subtilités topologiques peuvent justement être un peu trop subtiles pour un élève de prépa. Commence par méditer cette phrase de matmeca_mcf1:
Appelons B la boule unité fermé de E. \( B\cap A \) est fermée dans \( A \) mais \( B\cap A \) n'est pas forcément fermé dans \( E \).
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mechiche
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Re: Sous-espace vectoriel fermé

Message par mechiche » lun. avr. 16, 2018 6:15 pm

siro a écrit :
lun. avr. 16, 2018 5:01 pm
mechiche a écrit :
lun. avr. 16, 2018 4:08 pm
Merci à vous deux pour vos réponses, je comprends maintenant.

Dernière petite question ? \( \mathbb{Q} \) est bien un \( \mathbb{R} \)-espace vectoriel de dimension \( 1 \) non ?
Bah non, si c'était un sev de R, alors pour tout u \in R et tout X \Q, u.X \in Q. Or pour u = \sqrt(2) et X = 1 \in Q, ça ne fonctionne pas.

Tout R-ev a la puissance du continu en fait. (sauf {0})
Effectivement pardon, c'est seulement un \( \mathbb{Q} \)-espace vectoriel.
Je voulais dire que c'était étrange alors que le théorème ne s'applique pas à \( \mathbb{Q} \), qui est un ouvert, mais comme l'a signalé matmeca
matmeca_mcf1 a écrit :
lun. avr. 16, 2018 5:50 pm
Tout ensemble est fermé dans lui-même. Et ouvert dans lui-même.

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BijouRe
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Re: Sous-espace vectoriel fermé

Message par BijouRe » lun. avr. 16, 2018 6:16 pm

C'est l'idée de fermé relatif ?
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darklol
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Re: Sous-espace vectoriel fermé

Message par darklol » lun. avr. 16, 2018 6:24 pm

mechiche a écrit :
lun. avr. 16, 2018 6:15 pm
\( \mathbb{Q} \), qui est un ouvert
\( \mathbb{Q} \) n’est pas un ouvert de \( \mathbb{R} \).
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mechiche
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Re: Sous-espace vectoriel fermé

Message par mechiche » lun. avr. 16, 2018 6:49 pm

darklol a écrit :
lun. avr. 16, 2018 6:24 pm
mechiche a écrit :
lun. avr. 16, 2018 6:15 pm
\( \mathbb{Q} \), qui est un ouvert
\( \mathbb{Q} \) n’est pas un ouvert de \( \mathbb{R} \).
En effet. Les concours s'annoncent bien :?

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siro
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Re: Sous-espace vectoriel fermé

Message par siro » lun. avr. 16, 2018 6:55 pm

Vaut mieux que tu fasses la bourde ici que pendant tes concours.
Chaque vénérable chêne a commencé par être un modeste gland. Si on a pensé à lui pisser dessus.

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Re: Sous-espace vectoriel fermé

Message par oty20 » lun. avr. 16, 2018 7:13 pm

mechiche a écrit :
lun. avr. 16, 2018 6:49 pm

En effet. Les concours s'annoncent bien :?

ne t’inquiète pas , on va pas te sortir Q ou Z ou N dans les écrits , a part si tu passes x-ens .
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' all within the four seas are brothers .

Sylve
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Re: Sous-espace vectoriel fermé

Message par Sylve » lun. avr. 16, 2018 8:56 pm

Hum, j'ai médité la chose et ne vois pas le problème dans ce que j'ai écrit...

Si je suis mon cours, les boules d'une partie A d'un espace vectoriel normé (E, ||.||) sont les boules de E intersectées avec A. On définit ainsi une topologie induite sur A, et on parle alors d'ouverts et de fermés relatifs à A.

Soit E un evn et F un sev de E et A une partie de F.

On n'a pas : A compact pour la topologie induite sur F implique A compact de E.
Exemple : ]0;1] est un compact de ]0,1] mais pas de R.

On n'a pas non plus : A fermé de F (i.e. fermé relatif à F) implique A fermé de E.
Exemple : Même exemple.

Est-ce correct ?

Edit : Un problème peut-être est de parler de compact de ]0;1]. Pas sûr que ça soit légal. Du moins en cours on a vu que des compacts d'espaces vectoriels.

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Re: Sous-espace vectoriel fermé

Message par matmeca_mcf1 » lun. avr. 16, 2018 9:33 pm

Sylve a écrit :
lun. avr. 16, 2018 8:56 pm
On n'a pas : A compact pour la topologie induite sur F implique A compact de E.
Exemple : ]0;1] est un compact de ]0,1] mais pas de R.
]0,1] n'est pas un compact de ]0,1]. En fait, un ensemble n'est pas un compact de/dans. Il est un compact (pour une certaine norme/distance/topologie) ou il n'est pas un compact.
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'enseirb-matmeca.
Les opinions exprimées ci-dessus n'engagent que moi et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.

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Osvatski
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Re: Sous-espace vectoriel fermé

Message par Osvatski » lun. avr. 16, 2018 11:31 pm

BijouRe a écrit :
lun. avr. 16, 2018 5:31 pm
Bolzano Weierstrass assure que la valeur d'adhérence appartienne à A ?
Pas à ce que je sache :shock:
L'examinateur sort son portable de sa poche et le place à la verticale sur la table. Le portable tombe. Expliquer.

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Re: Sous-espace vectoriel fermé

Message par mechiche » mar. avr. 17, 2018 9:10 am

Osvatski a écrit :
lun. avr. 16, 2018 11:31 pm
BijouRe a écrit :
lun. avr. 16, 2018 5:31 pm
Bolzano Weierstrass assure que la valeur d'adhérence appartienne à A ?
Pas à ce que je sache :shock:
J'applique Bolzano Weierstrass sur le sev de dim finie A, muni de la norme de E, à une suite d'éléments de cet ensemble. Je ne suis pas sûr que cela ait un sens de dire "la suite converge, mais pas vers un élément de A"... En tout cas, on a définie (en MPSI...) la convergence d'une suite d'un espace donné vers un élément de cet espace, mais jamais vers "autre chose"...

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Re: Sous-espace vectoriel fermé

Message par Syl20 » mar. avr. 17, 2018 10:07 am

Sylve a écrit :
lun. avr. 16, 2018 8:56 pm
Hum, j'ai médité la chose et ne vois pas le problème dans ce que j'ai écrit...

Si je suis mon cours, les boules d'une partie A d'un espace vectoriel normé (E, ||.||) sont les boules de E intersectées avec A. On définit ainsi une topologie induite sur A, et on parle alors d'ouverts et de fermés relatifs à A.

Soit E un evn et F un sev de E et A une partie de F.

On n'a pas : A compact pour la topologie induite sur F implique A compact de E.
Exemple : ]0;1] est un compact de ]0,1] mais pas de R.
En fait tu n'as pas de "compacts induits" comme les ouverts ou les fermés : il faut revenir à la définition d'un compact comme espace (métrique) dans lequel toute suite admet une valeur d'adhérence, et on voit comme le dit matmeca que la compacité est "intrinsèque".
Si C est un compact d'une partie A de E avec la topologie "induite" (donc où la distance, si tu connais le concept est \( d(x,y)=||x-y|| \)), alors toute suite de C admet une valeur d'adhérence dans C s'écrit \( \exists l \in C, \exists \phi ,||x_{\phi (n)}-l||\to 0 \). On voit bien que c'est aussi vrai si on voit C comme un sous-ensemble de E.
Par contre, on a bien que si A est fermé et C compact de E, alors \( A\cap C \) est compact
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Re: Sous-espace vectoriel fermé

Message par siro » mar. avr. 17, 2018 10:25 am

On peut voir autrement : ]0,1] n'est pas borné à droite *dans* lui-même. (Comme R^{-}.)

C'est pas pour rien que compacts <=> fermés bornés en dimension finie.
Chaque vénérable chêne a commencé par être un modeste gland. Si on a pensé à lui pisser dessus.

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