Continuité

[matmeca_mcf1]

OK, je pense que vous avez une bonne idée niveau intuition mais ce n'est pas bien rédigée. Vous avez une suite décroissante strict et si la limite l n'est pas 0 vous pouvez ressortir une autre suite décroissante stricte qui va converger et si la limite n'est pas 0, vous pouvez ... et ainsi de suite. Et l'idée est que si on réitère infiniment, on finira par converger vers 0. Mais rendre ce raisonnement rigoureux va être difficile. Vous pourriez vous retrouver avec des suites de suites strictement décroissante, avec le premier élément d'une suite égal à la limite du dernier élément de la suite précédente. Mais même en suivant ce procédé, rien n'indique que la limite des limites est 0. Et on pourrait se retrouver à gérer de suites de suites, des suites de suites de suites, et ainsi de suite. C'est beaucoup trop compliqué. On va juste sauter toutes les suites et utiliser directement un inf et un sup.

Soit $ a,b $ deux réels. On pose $ m=\min_{x\in[a,b]}(f(x)) $ et
$$
a_0=\inf\{s\in[a,b]:f(s)=m\},\\
b_0=\sup\{s\in[a,b]:f(s)=m\}.
$$
On a par continuité $ f(a_0)=m=f(b_0) $. Par l'absurde, supposons $ a\neq a_0 $, on applique l'hypothèse sur l'intervalle $ [a,a_0] $ et on obtient l'existence de $ t<a_0 $ tel que $ f(t)=m $, ce qui contredit la définition de $ a_0 $. Donc, par l'absurde $ a_0=a $ et $ f(a)=m $. On fait pareil sur l'intervalle $ [b_0,b] $ et on obtient $ f(b)=m $. Donc, $ f(a)=m=f(b) $.

[oty20]

Bonsoir Professeur , Merci d'avoir pris le temps de me lire ,vous avez raison , huuummm l'idée est que la construction de la suite , on l' a faite par récurrence ,
On pose $ H=\{t\in [0,1] | h(t) \leq h(1)\} $
je pourrais modifié la construction pour faire que cela marche , en effet supposons construit $ x_{1} \geq...\geq x_{k} $

si $ x_{k}=0 $ on prend $ x_{k+1}=0 $ , la suite devient ainsi stationnaire , convergente vers 0

sinon tant que : $ H\cap [0,\inf(x_{1},...,x_{k})] $ est non vide et $ x_{k} >0 $ on choisit $ x_{k+1} < x_{k} $ dans $ [0,x_{k}] $ , possible car l’hypothèse nous donne l'existence de deux éléments distincts ou le minimum est atteint , soit $ l $ la limite de la suite , si $ l>0 $ cela voudrait dire que l'intervalle $ [0,l] $ ne contient aucun élément de la suites , c'est a dire que $ H\cap [0,l] $ est vide or $ \forall n \in \mathbb{N}: h(x_{n})\leq h(1) $ par continuité , en passant a la limite $ h(l) \leq h(1) $ donc $ l \in H $ ainsi la construction aurait du continuer , donc $ l=0 $ .


Enfin c'est juste un acharnement , pour faire marcher la solution mais bon , l'utilisation de la borne sup et inf est en effet plus pratique .

[gonfricks]

Merci pour vos reponses

[Desert]

Bonsoir Professeur , Merci d'avoir pris le temps de me lire ,vous avez raison , huuummm l'idée est que la construction de la suite , on l' a faite par récurrence ,
On pose $ H=\{t\in [0,1] | h(t) \leq h(1)\} $
je pourrais modifié la construction pour faire que cela marche , en effet supposons construit $ x_{1} \geq...\geq x_{k} $

si $ x_{k}=0 $ on prend $ x_{k+1}=0 $ , la suite devient ainsi stationnaire , convergente vers 0

sinon tant que : $ H\cap [0,\inf(x_{1},...,x_{k})] $ est non vide et $ x_{k} >0 $ on choisit $ x_{k+1} < x_{k} $ dans $ [0,x_{k}] $ , possible car l’hypothèse nous donne l'existence de deux éléments distincts ou le minimum est atteint , soit $ l $ la limite de la suite , si $ l>0 $ cela voudrait dire que l'intervalle $ [0,l] $ ne contient aucun élément de la suites , c'est a dire que $ H\cap [0,l] $ est vide or $ \forall n \in \mathbb{N}: h(x_{n})\leq h(1) $ par continuité , en passant a la limite $ h(l) \leq h(1) $ donc $ l \in H $ ainsi la construction aurait du continuer , donc $ l=0 $ .


Enfin c'est juste un acharnement , pour faire marcher la solution mais bon , l'utilisation de la borne sup et inf est en effet plus pratique .

Je ne suis pas sûr que ta construction soit bien "rigoureuse", dans le sens ou elle marche intuitivement mais elle viole peut-être des principes mathématiques.
Par exemple quand tu dis "on choisit $ x_{k+1} < x_{k} $ dans $ [0,x_{k}] $ ", ça me semble vachement peu formel. Tu utilises l'axiome du choix ?

[oty20]

Bonsoir\Bonjour ,je ne suis pas un spécialiste de Logique , d’après les hypothèses sur f l'ensemble des points ou le minimum sur [0,x_{k}] est atteint contient au moins deux éléments distincts de [0,x_{k}] , donc l'un deux est strictement inférieur a x_{k} , je le prend comme k+1 eme terme de la suite que je construis .

Dans le topic que tu as ouvert , pour tout n , En non vide , choisissons x_{n} (ceci détermine x_{n} ), et donc quand n parcourt N on peut parler de la suite (x_{n}) c'est bien une application .

Voici un exo qui t'aidera mieux a comprendre : soit $ f : E \to E $ avec $ E $ un ensemble non vide ,
essaye de trouver une condition nécessaire et suffisante sur $ f $ pour qu'il existe une application $ g $ tel que $ fog $ est bijective .