X-ENS Maths 2018 Epreuve A MP

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Re: X-ENS Maths 2018 Epreuve A MP

Message par Obchan » 20 avr. 2018 00:08

Se planter dans la distribution, j'ai envie de dire ok, c'est pas bien, mais bon, ça peut arriver. Par contre, ne pas changer un sujet qui a fuité ... Là c'est chaud ^^
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Re: X-ENS Maths 2018 Epreuve A MP

Message par certus » 20 avr. 2018 07:56

Pouvez-vous mettre le sujet A en pdf , je n'arrive pas ouvrir le fichier ZIP
Merci

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Re: X-ENS Maths 2018 Epreuve A MP

Message par Penangol » 20 avr. 2018 11:32

Obchan a écrit :
20 avr. 2018 00:08
Se planter dans la distribution, j'ai envie de dire ok, c'est pas bien, mais bon, ça peut arriver. Par contre, ne pas changer un sujet qui a fuité ... Là c'est chaud ^^
Je remets ici mon message d'un autre fil:

C'est fait, un mail d'explication et d'excuse a été envoyé, l'épreuve de Math B est annulée et sera remise au [EDIT] Samedi 5 mai de 9h à 13h.
On peut reprocher à l'X son fail dans la distribution des sujets, mais coté transparence et équité, je ne vois rien à redire.

Bonne chance que le match retour, may the odds be ever in your favor.
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Re: X-ENS Maths 2018 Epreuve A MP

Message par JeanN » 21 avr. 2018 10:51

matmeca_mcf1 a écrit :
19 avr. 2018 09:41
Je dirais que le concepteur du sujet connait bien l'analyse numérique matricielle: norme de Frobenius, décomposition en valeurs singulières. La question 9c m'étonne aussi. Cela me semble effectivement très difficile pour des élèves de prépa. Pour moi, il manque une question intermédiaire du style :
"Soit M de noyau B sev de dimension p-l, exprimer A et M dans une base orthonormale (espace de départ) adaptée à $ B\oplus B^\bot $. En déduire $$ \min_{M\in\mathcal{M}^l_{n,p}(\mathbb{R}),Ker(M)=B}[\lVert A-M\rVert_F $$ et le $ M $ où ce minimum est réalisé". Il faudrait probablement rerédiger cette question intermédiaire pour faire le lien entre $ \tilde{V} $ et la base orthonormale adaptée de $ B^\bot $.

EDIT:Correction l->p-l

9c s'enchaine bien en fait si on cherche un peu la matrice $ \tilde{V} $ la plus naturelle à poser : ici, une matrice dont les colonnes forment une bon de $ Ker(M)^{\perp} $
On remarque ensuite que $ P=\tilde V\tilde V^T $ est la projection orthogonale sur $ Ker(M)^{\perp} $ donc M=MP
On vérifie ensuite directement que A-AP et AP-MP sont orthogonaux, on applique Pythagore, on calcule et on minore directement par ce qui est demandé en utilisant 9b.
Pour le cas d'égalité, on vérifie en utilisant 9b que P est nécessairement la projection orthogonale sur $ Vect(v_1,...,v_{\ell}) $ et que nécessairement M=AP donc unicité (sous réserve d'existence)
Il ne reste plus qu'à vérifier que la matrice $ U_* \Sigma_* V_*^T $ convient.
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Re: X-ENS Maths 2018 Epreuve A MP

Message par JeanN » 21 avr. 2018 11:51

Voici un corrigé de l'épreuve écrit avec un collègue.
Avant que je le transmette au responsable du site de l'ups, je le mets ici.
Si par hasard vous détectez une coquille (ou une faute plus importante), n'hésitez pas à la signaler.
Mon collègue et moi assumons les quelques différences de notations (des produits scalaires par exemple) :)
Pièces jointes
correction X MP-A 2018.zip
(199.33 Kio) Téléchargé 417 fois
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Re: X-ENS Maths 2018 Epreuve A MP

Message par Nabuco » 21 avr. 2018 14:18

Préliminaire question 3 il manque un indice dans la somme
10c quel est l intérêt de vérifier que ce qui nous est donné est un projecteur quand on a les deux points suivants qui suffisent ?
15b il manque un transposé sur le calcul avec A
Cela ne simplifierait pas la rédaction de la 19 de montrer que pour t petit WtTV est inversible et donc appliquer facilement la question 12 de continuité ?
Le corrigé est clair sinon.

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Re: X-ENS Maths 2018 Epreuve A MP

Message par JeanN » 21 avr. 2018 14:55

Merci pour le retour.
Par contre, je ne comprends pas la suggestion pour la question 19 faute de comprendre la matrice WtTV :)
J'aurais tendance à penser qu'il s'agit de (W_t^T)*V mais cette matrice ne peut être inversible car de taille (n,k)
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Re: X-ENS Maths 2018 Epreuve A MP

Message par dSP » 21 avr. 2018 15:12

9c s'enchaine bien en fait si on cherche un peu la matrice $ \tilde{V} $ la plus naturelle à poser : ici, une matrice dont les colonnes forment une bon de $ Ker(M)^{\perp} $
C'est la même idée mais cela n'a rien de bien naturel à mon avis.

A nouveau, ce sujet aborde les choses de manière fort compliquée. On pourrait résoudre la question de cette partie II de manière plus élégante en procédant comme suit : l'ensemble des matrices de rang au plus $ l $
est classiquement un fermé de $ M_{n,p}(\mathbb{R}) $, l'espace envisagée étant de dimension finie il est classique que la distance de $ A $ à ce fermé soit atteinte en une certaine matrice $ B $, de rang noté $ r $.
Par suite, la fonction $ (P,Q) \in M_n(\mathbb{R})\times M_p(\mathbb{R}) \mapsto \|A-PBQ\|^2 $ admet un minimum en $ (I_n,I_p) $.
Un coup de calcul de différentielle plus tard, on en déduit les identités
$ \forall P \in M_n(\mathbb{R}), \; \mathrm{tr}((A-B)^T PB)=0 $ et
$ \forall Q \in M_p(\mathbb{R}), \; \mathrm{tr}((A-B)^TBQ)=0 $, dont on tire $ B(A-B)^T=0 $ et $ (A-B)^T B=0 $.
En posant $ C:=A-B $, il vient $ (\mathrm{Ker} C)^\bot \subset \mathrm{Ker} B $ et $ \mathrm{Im} B \bot \mathrm{Im} C $.
On en tire des matrices orthogonales $ P \in O_n(\mathbb{R}) $ et $ Q \in O_p(\mathbb{R}) $,
et des matrices $ R \in \textrm{GL}_r(\mathbb{R}) $ et $ S \in M_{n-r,p-r}(\mathbb{R}) $ telles que
$ B=P\begin{pmatrix}
R & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}Q $ et $ C=P\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & S
\end{pmatrix}Q $. A partir de là, on démontre que les valeurs singulières de $A$ sont obtenues par concaténation de celles de $ R $ et de $ C $, et on conclut en notant que $ \|A-B\|_2=\|C\|_2 $ est la racine carrée de la somme des valeurs singulières de $ C $.

Au passage, l'approche de la décomposition en valeurs singulières est vraiment très peu standard dans cet énoncé (et très moyennement manipulable).
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Re: X-ENS Maths 2018 Epreuve A MP

Message par Nabuco » 21 avr. 2018 17:53

JeanN a écrit :
21 avr. 2018 14:55
Merci pour le retour.
Par contre, je ne comprends pas la suggestion pour la question 19 faute de comprendre la matrice WtTV :)
J'aurais tendance à penser qu'il s'agit de (W_t^T)*V mais cette matrice ne peut être inversible car de taille (n,k)
Oui désolé je n avais pas vu le problème de format, il faut modifier le W donné pour pouvoir utiliser la question sur la continuité, comme fait dans le corrigé.

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Re: X-ENS Maths 2018 Epreuve A MP

Message par memesetoiles18 » 22 avr. 2018 12:19

Je copie colle mon message:
Bonjour, voici les pdf des sujets de l'X 2018 pour la filière MP (dont le fameux Maths B qui a fuité) option info et LV1 anglais (désolè, flemme d'enlever les soulignages des textes d'anglais).

https://ufile.io/yi2bl (qualité 600pp: 80mb)

https://ufile.io/zoae3 (qualité réduite: 4mb)

PS: Désolé d'utiliser un hébergeur externe mais je n'ai pas trouvé d'option pour un upload direct.

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