X-ESPCI-ENS PC 2018 III.2 - Esperance curieuse

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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X-ESPCI-ENS PC 2018 III.2 - Esperance curieuse

Message par Jabernoulli » 18 avr. 2018 20:37

Bonsoir a tous,

Il s'agit d'une question (III.2) du très 'sympathique' sujet de PC de ce matin sur laquelle je voulais avoir vos éventuelles pistes de résolution.. Un raisonnement de dénombrement semble s'imposer mais je n'ai pas vraiment vu par ou le prendre...

On introduit une variable aléatoire uniforme $ Z :\Omega\rightarrow \left \{-1,1 \right \}^n $
Pour $ \omega\in\Omega $ on note $ Z_i(\omega) $ les coordonnées de $ Z(\omega) $. Montrer que pour tout
$ A \in M_{n}( \left \{-1,1 \right \}) $
on a
$ \forall i\in \left \{1,...,n\right\}, E[\left |\displaystyle \sum_{j=1}^{n} a_{ij} Z_{j} \right |]=\frac{1}{2^n}\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} \left |n-2k \right | $

Ou $ M_{n}( \left \{-1,1 \right \}) $ est l'ensemble des matrices de coefficients $ 1 $ ou $ -1 $

Bonne soirée et bonne suite ces jours-ci
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Re: X-ESPCI-ENS PC 2018 III.2 - Esperance curieuse

Message par matmeca_mcf1 » 18 avr. 2018 21:03

Soit $ A \in M_{n}( \left \{-1,1 \right \}) $. Soit $ i $ dans $ \{1,\ldots,n\} $. On pose
$$ B_{k,n}=\{x\in\{-1,1\}^n:\mathrm{card}(\{j\in\{1,\ldots,n\}:a_{ij}x_j=1)=k\}. $$
Les $ B_{k,n} $ forment une partition de $ \{-1,+1\}^n $ pour $ k $ dans $ \{0,\ldots,n\} $.

On a alors
$$
\begin{split}
E[\left \lvert \sum_{j=1}^{n} a_{ij} Z_{j} \right \rvert&=
\sum_{k=0}^n\sum_{\omega\in Z^{-1}(B_{k,n})}\frac{1}{2^n}\left\lvert\sum_{j=1}^na_{ij} Z_{j}(\omega)\right\rvert\\
&=\sum_{k=0}^n\sum_{\omega\in Z^{-1}(B_{k,n})}\frac{1}{2^n}\lvert2k-n\rvert\\
&=\sum_{k=0}^n\mathrm{card}(B_{k,n})\frac{\lvert n-2k\rvert}{2^n}\\
&=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\frac{\lvert n-2k\rvert}{2^n}
\end{split}
$$

On est passé de la notation $ C_n^k $ à la notation $ \binom{n}{k} $ en prépa?

EDIT changement scosmétiques dans les formules et corrections de typos sur ) }

EDIT 2: changement B_{k,n} partition de {1,...,n} en partition de {-1,1}^n
Dernière modification par matmeca_mcf1 le 19 avr. 2018 09:16, modifié 2 fois.
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Re: X-ESPCI-ENS PC 2018 III.2 - Esperance curieuse

Message par galois18 » 18 avr. 2018 21:07

Bonsoir,
Je me replonge pas dans le sujet ce soir .......
Mais je peux dire quand même que j'ai trouvé l'épreuve plutôt très difficile
Bon courage à tous

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Re: X-ESPCI-ENS PC 2018 III.2 - Esperance curieuse

Message par Futurtaupin » 18 avr. 2018 21:08

matmeca_mcf1 a écrit :
18 avr. 2018 21:03

On est passé de la notation $ C_n^k $ à la notation $ \binom{n}{k} $ en prépa?
oui :)
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Re: X-ESPCI-ENS PC 2018 III.2 - Esperance curieuse

Message par oty20 » 18 avr. 2018 21:10

un sujet exclusivement probas ?
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .

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Re: X-ESPCI-ENS PC 2018 III.2 - Esperance curieuse

Message par Jabernoulli » 18 avr. 2018 21:27

oty20 a écrit :
18 avr. 2018 21:10
un sujet exclusivement probas ?
probas, analyse, dénombrement...il y avait beaucoup de choses, quand même assez difficile..
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Re: X-ESPCI-ENS PC 2018 III.2 - Esperance curieuse

Message par oty20 » 19 avr. 2018 06:14

matmeca_mcf1 a écrit :
18 avr. 2018 21:03
Soit $ A \in M_{n}( \left \{-1,1 \right \}) $. Soit $ i $ dans $ \{1,\ldots,n\} $. On pose
$$ B_{k,n}=\{x\in\{-1,1\}^n:\mathrm{card}(\{j\in\{1,\ldots,n\}:a_{ij}x_j=1)=k\}. $$
Les $ B_{k,n} $ forment une partition de $ \{1,\ldots,n\} $ pour $ k $ dans $ \{0,\ldots,n\} $.
On a alors
$$
\begin{split}
E[\left \lvert \sum_{j=1}^{n} a_{ij} Z_{j} \right \rvert&=
\sum_{k=0}^n\sum_{\omega\in Z^{-1}(B_{k,n})}\frac{1}{2^n}\left\lvert\sum_{j=1}^na_{ij} Z_{j}(\omega)\right\rvert\\
\end{split}
$$


Bonjour Professeur , je ne comprend pas bien les notations , les $ B_{k,n} $ contiennent des $ n-uplet ,x $ non ? si c'est le cas comment peuvent t'il former une partition de $ \{1,...,n\} $ , je ne comprend pas la formule de l’espérance non plus :oops: .

On peut remarquer que quand exactement $ k $ indices de $ (z_{j}) $ coïncident avec le signe de leurs $ a_{i,j} $ respectivement , alors en notant (pour simplifier l’écriture tex ) $ X=\sum_{j=1}^{n} a_{i,j}z_{j} $ , $ |X|=|2k-n| $
d’après le théorème fondamental de Kolmogorov ; soient $ (S_{j})_{j\in [[1,n]]} $ des variables aléatoire mutuellement indépendantes tel que :
$ S_{j} \sim a_{i,j}Z_{j} $

Soit $ i_{1}<...<i_{k} $ alors : $ P(|X|=|2k-n|)=P(\cup_{\{i_{1},..,i_{k}\} \subset [[1,n]]^{k}}~~(S_{i_{1}}=1,...,S_{i_{k}}=1,S_{i_{k+1}}=-1,..,S_{i_{n}}=-1)~~)
\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\sum_{\{i_{1},..,i_{k}\} \subset [[1,n]]^{k}}P((S_{i_{1}}=1,...,S_{i_{k}}=1,S_{i_{k+1}}=-1,..,S_{i_{n}}=-1)~)
\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\sum_{\{i_{1},..,i_{k}\} \subset [[1,n]]^{k}} \frac{1}{2^{n}}=\frac{1}{2^{n}} \binom{n}{k} $ de la on peut tirer la formule demander sauf erreur de ma part .
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Re: X-ESPCI-ENS PC 2018 III.2 - Esperance curieuse

Message par matmeca_mcf1 » 19 avr. 2018 10:28

oty20 a écrit :
19 avr. 2018 06:14
je ne comprend pas bien les notations , les $ B_{k,n} $ contiennent des $ n-uplet ,x $ non ? si c'est le cas comment peuvent t'il former une partition de $ \{1,...,n\} $ , je ne comprend pas la formule de l’espérance non plus :oops: .
Je voulais dire partition de $ \{-1,+1\}^n $. C'est corrigé maintenant. De cette manière les $ Z^{-1}(B_{k,n})_{0\leq k\leq n} $ forment une partition de $ \Omega $.
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Re: X-ESPCI-ENS PC 2018 III.2 - Esperance curieuse

Message par Desert » 21 avr. 2018 02:53

Quelqu'un pourrait poster le sujet s'il vous plaît ?

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