Déterminant matrice par bloc

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Déterminant matrice par bloc

Message par Lucaz » 19 avr. 2018 14:39

Bonjour, j'ai fait pas mal d'exos sur les déterminants, parmi eux l'exo Det(A B C D) = Det(AD-BC) (A, B, C, D des matrices de dimension n) sous l'hypothèse que C et D commutent (Désolé pour la présentation des matrices je ne sais pas utiliser la présentation mathématique sur le forum).
J'ai bien compris comment faire mais j'ai essayé une autre manière pour le démontrer sauf qu'elle est fausse mais je ne trouve pas l'erreur (elle doit surement sauter aux yeux mais on a peu vu les matrices par blocs)
J'ai dit que Det(A B C D) = Det( (A 0) + (0 C), (B 0) + (0 D) ) (où (A 0),.. sont des colonnes), déjà ici je ne suis pas sur que l'on puisse faire comme avec des nombres alors qu'il s'agit de blocs. Puis en développant avec les lignes nulles, il reste (je crois) :
Det ( (A 0), (0 D) ) + Det( (0 C), (B 0) ) = DetA*DetD - DetC*DetB en multipliant par -1 pour échanger les colonnes du deuxième déterminant puis après formule de déterminant par blocs.
Quelqu'un pourrait me dire d'où vient l'erreur ? Parce que ça m'étonnerait fortement que DetA*DetD - DetC*DetB = Det(AD-BC). Merci d'avance !

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Re: Déterminant matrice par bloc

Message par oty20 » 19 avr. 2018 15:08

Bonjour , je n'arrive pas a suivre , pourrais-tu écrire avec du latex , voici un site qui te facilitera la tache https://www.codecogs.com/eqnedit.php
tu pourras copier le code ,quand tu auras fini et le collé en tex ici .
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .

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Re: Déterminant matrice par bloc

Message par Lucaz » 19 avr. 2018 15:30

Merci pour le site !
Donc j'ai écrit :
$ Det\begin{pmatrix}
A & B \\
C & D
\end{pmatrix}
=Det(\begin{pmatrix}
A\\
0
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
0\\
C
\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
B\\
0
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
0\\
D
\end{pmatrix}) $
Et déjà là je ne suis pas sur de pouvoir le faire étant donné qu'il s'agit de blocs.
Après simplification grâce à la multilinéarité du déterminant (il y a des lignes nulles) j'obtiens :
$ Det\begin{pmatrix}
A & B \\
C & D
\end{pmatrix}
=Det(\begin{pmatrix}
A\\
0
\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
0\\
D
\end{pmatrix})
+Det(\begin{pmatrix}
0\\
C
\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
B\\
0
\end{pmatrix}) $
En échangeant les colonnes du deuxième déterminant (je multiplie par -1) puis j'utilise la formule des déterminants par bloc (produit des déterminants)
j'obtiens : $ Det\begin{pmatrix}
A & B \\
C & D
\end{pmatrix}
= Det(A)Det(D)-Det(C)Det(B) $
Qui est je pense bien différent de $ Det(AD-BC) $

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Re: Déterminant matrice par bloc

Message par K-ter » 19 avr. 2018 16:29

Ce que tu as fait c'est considérer que l'application $$\left ( A, B\right )\in \mathcal{M}_{2n,n}(\mathbb{R} ) \times \mathcal{M}_{2n,n}(\mathbb{R}) \mapsto det(A, B) $$ est bilinéaire.
Ce n'est pas le cas, car si tu multiplies A par un scalaire t, le résultat est multiplié pat t^n et non par t

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Re: Déterminant matrice par bloc

Message par Lucaz » 19 avr. 2018 16:40

A quel niveau ai-je considéré ça ?

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Re: Déterminant matrice par bloc

Message par K-ter » 19 avr. 2018 16:59

Quand tu fais ce calcul :
$$det\left ( \begin{matrix}
A & B\\
C & D
\end{matrix} \right) \\
=det\left(\left ( \begin{matrix}
A\\
0
\end{matrix} \right )+\left ( \begin{matrix}
0\\
C
\end{matrix} \right )
,
\left ( \begin{matrix}
B\\
0
\end{matrix} \right )
+\left ( \begin{matrix}
0\\
D
\end{matrix} \right )
\right)\\
=det\left ( \begin{matrix}
A & B\\
0 & 0
\end{matrix} \right)
+det\left ( \begin{matrix}
A & 0\\
0 & D
\end{matrix} \right)
+det\left ( \begin{matrix}
0 & B\\
C & 0
\end{matrix} \right)
+det\left ( \begin{matrix}
0 & 0\\
C & D
\end{matrix} \right)\\
=det\left ( \begin{matrix}
A & 0\\
0 & D
\end{matrix} \right)+
det\left ( \begin{matrix}
0 & B\\
C & 0
\end{matrix} \right)$$

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Re: Déterminant matrice par bloc

Message par Lucaz » 19 avr. 2018 17:19

Ah bah oui ! Suffisait de prendre un exemple c'était bien évident en fait merci beaucoup :)

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