Exercice non résolu

[momo77]

J'ai une difficulté à résoudre un exercice en espace préhilbertien:
Soit une suite orthonormale (en) n appartenant à N de vecteurs de E (préhilbertien);
on note S la somme de la série (x|en)² de 0 à l'infini, montrons que S=||x||² si et seulement si x appartient à l'adhérence de vect((en) n entier).
Bon la somme est bien définie puisqu'on peut majorer la somme partielle grâce à l'inégalité de Bessel... sinon je bloque sur l'équivalence demandée.
Quelqu'un pourrait m'aider? Merci.

[matmeca_mcf1]

Arrivez-vous à démontrer un sens de l'équivalence?

[momo77]

Non :/

[matmeca_mcf1]

Pour une des implications, calculez
$$
\lVert x-\sum_{k=0}^n(x|e_n)e_n\rVert^2
$$

Pour l'autre implication démontrez que pour tout n et tout $ y\in Vect(e_1,\ldots,e_n) $
$$
\lVert x-\sum_{k=0}^n(x|e_n)e_n\rVert^2\leq \lVert x-y\rVert^2
$$