X Maths B

[oty20]

Bonjour , je sèche sur la question 7b) de l’épreuve X Maths B 2018 : http://mohamed.legtux.org/facebook/x_en ... euve_b.pdf , je n'arrive pas a corréler les variables :

On dénote $ \lambda=a $ et $ \mu=b $ pour simplifier l’écriture en Tex : Soient $ t,s \in [-R,R] $ tels que $ t\geq s $ ,
On pose $ P(t)=X_{a}(t)-X_{b}(t) $

$ P(t)=P(s)+\int_{s}^{t} P'(u)du=P(s)+\int_{s}^{t} A_{a}(u)X_{a}(u)du -\int_{s}^{t} A_{b}(u)X_{b}(u)du $

pour faire apparaître $ e^{2cR} $ Il nous faudrait un facteur $ 2c $ pour utiliser 3a) , je fais donc la manipulation ,

$ P(t)=P(s)+\int_{s}^{t} (A_{a}(u)-A_{b}(u))(X_{a}(u)-X_{b}(u)) du -( \int_{s}^{t} A_{b}(u)X_{a}(u)+A_{a}X_{b}(u)du ) $ , on a donc la majoration :

$ ||P(t)|| \leq ||P(s)||+2c \int_{s}^{t}||P(u)|| du +c \int_{s}^{t} ||X_{a}(u)||du +c \int_{s}^{t} ||X_{b}(u)|| du $

j'ose espérer un choix de s , de sorte que la quantité $ ||P(s)||+c \int_{s}^{t} ||X_{a}(u)||du +c \int_{s}^{t} ||X_{b}(u)|| \leq R |a-b| $ pour pouvoir appliquer 3a) . Des suggestions ?

[matmeca_mcf1]

Il faut faire la manipulation:
$$
P(t)=P(s)+\int_{s}^{t} (A_{a}(u)-A_{b}(u))X_{a}(u) du +\int_{s}^{t} A_{b}(u)(X_{a}(u)-X_{b}(u))du
$$
en prenant $ s=0 $.

[noro]

Personnellement j'ai dérivé P et utilisé 3b

[gonfricks]

@noro pour utiliser 3b) il aurrait fallu au prealable montrer que P prime verifie les conditions de la question 3b .

[matmeca_mcf1]

On peut effectivement utiliser 3b) et c'est probablement plus direct. L'idée reste toujours d'écrire $ (A_a(u)−A_b(u))X_a(u)+A_b(u)(X_a(u)-X_b(u)) $.

Quelques remarques culturelles sur l'épreuve:

La partie I est consacrée à un résultat connu sous le nom de théorème de comparaison de Sturm Picone (le résultat général est plus fort que celui démontré dans l'épreuve). J'ai eu des échos comme quoi ce résultat était dans le programme de prépa au début des années 80.

Dans les notations, la norme matricielle définie est une norme subordonnée. En effet si on définit sur $ \mathbb{R}^N $ la norme infinie
$ \lVert \vec{x}\rVert_\infty=\max_i(\lvert x_i\rvert) $ alors
$$
\sup_{x\in\mathbb{R}^M\setminus\{0\}}\frac{\lVert Ax\rVert_\infty}{\lVert x\rVert_\infty}=\max_{i=1,\ldots,N}\sum_{j=1}^M \lvert a_{ij}\rvert.
$$

Les inégalités des questions 3a) et 3b) sont connues sous le nom de "lemme de Grönwall". D'autres variantes/formes de ces inégalités existent. Ces inégalités sont courramment utilisés pour démontrer l'existence de solutions à des EDP mais comment on s'en sert dépasse le cadre des programmes de prépas (cela demande trop d'analyse fonctionnelle, d'étude d'espaces vectoriels de dimension infinie).

La fonction $ \Phi $ définie à la question 4 est appelé flot de l'équation différentielle. En général, le flot dépend aussi, en plus de "t" et d'un ou plusieurs paramètre, des conditions initiales. Le but de la partie 2) est de démontrer que le flot pour cette équation est $ \mathcal{C}^1 $. Il se trouve que le flot du problème de Cauchy
$$
x'(t)=f(t,x(t),\lambda)\\
x(t_0)=x_0
$$
est $ \mathcal{C}^1 $ en $ (t,t_0,x_0,\lambda) $ dès que $ f $ est $ \mathcal{C}^1 $ (on peut même faire mieux).

[noro]

On peut effectivement utiliser 3b) et c'est probablement plus direct. L'idée reste toujours d'écrire $ (A_a(u)−A_b(u))X_a(u)+A_b(u)(X_a(u)-X_b(u)) $.

Quelques remarques culturelles sur l'épreuve:

La partie I est consacrée à un résultat connu sous le nom de théorème de comparaison de Sturm Picone (le résultat général est plus fort que celui démontré dans l'épreuve). J'ai eu des échos comme quoi ce résultat était dans le programme de prépa au début des années 80.

Dans les notations, la norme matricielle définie est une norme subordonnée. En effet si on définit sur $ \mathbb{R}^N $ la norme infinie
$ \lVert \vec{x}\rVert_\infty=\max_i(\lvert x_i\rvert) $ alors
$$
\sup_{x\in\mathbb{R}^M\setminus\{0\}}\frac{\lVert Ax\rVert_\infty}{\lVert x\rVert_\infty}=\max_{i=1,\ldots,N}\sum_{j=1}^M \lvert a_{ij}\rvert.
$$

Les inégalités des questions 3a) et 3b) sont connues sous le nom de "lemme de Grönwall". D'autres variantes/formes de ces inégalités existent. Ces inégalités sont courramment utilisés pour démontrer l'existence de solutions à des EDP mais comment on s'en sert dépasse le cadre des programmes de prépas (cela demande trop d'analyse fonctionnelle, d'étude d'espaces vectoriels de dimension infinie).

La fonction $ \Phi $ définie à la question 4 est appelé flot de l'équation différentielle. En général, le flot dépend aussi, en plus de "t" et d'un ou plusieurs paramètre, des conditions initiales. Le but de la partie 2) est de démontrer que le flot pour cette équation est $ \mathcal{C}^1 $. Il se trouve que le flot du problème de Cauchy
$$
x'(t)=f(t,x(t),\lambda)\\
x(t_0)=x_0
$$
est $ \mathcal{C}^1 $ en $ (t,t_0,x_0,\lambda) $ dès que $ f $ est $ \mathcal{C}^1 $ (on peut même faire mieux).

Présenté comme ça, le sujet à l'air plus intéressant. Sinon vous avez pensez quoi du sujet maths-info ?

[Desert]

J'ai bien aimé le sujet. Un peu long mais plutôt accessible contrairement à certains sujets des années précédentes.
Dessiner les graphes par contre, c'était horrible (surtout qu'une petite erreur et c'est 30 minutes de perdus).

[matmeca_mcf1]

Présenté comme ça, le sujet à l'air plus intéressant. Sinon vous avez pensez quoi du sujet maths-info ?

Vous parlez de l'épreuve d'Info-Maths – 4h – ULCR du mardi 24 avril 2018 14h-18h ? Je n'ai pas vu l'épreuve et je n'ai pas vu de fil de discussion sur cette épreuve mais si vous en ouvrez un sur cette épreuve avec le sujet, je vous répondrai sur le fil approprié.

[Le_Mulet]

J'ai bien aimé le sujet. Un peu long mais plutôt accessible contrairement à certains sujets des années précédentes.
Dessiner les graphes par contre, c'était horrible (surtout qu'une petite erreur et c'est 30 minutes de perdus).

Le sujet était très beau pour ce que j'ai eu le temps de regarder, même si je suis déçu de ma performance dans la partie II
Et le fameux graphe j'ai enchaîné les erreurs, 25 minutes dessus pour 0 points

[Desert]

@matmeca malheuresement je n'ai pas la possibilité d'upload l'épreuve :/ quelqu'un pourrait le faire ?


@Le_Mulet la partie II était effectivement plus difficile :/