Exercice Intégrale + Trigo (Fin Terminale)

[Blanco]

Bonjour,

Tout d'abord, je sais que ceci est un forum pour élèves de cpge scientifique, mais je n'ai pas su ou chercher de l'aide.

Mon professeur m'a donné a faire un problème assez compliqué et je n'ai pas réussi à le faire.

Le voici:

On a une suite définie pour tout n appartenant a N, avec U0=4pi/3 et Un=l'intégrale de 0 a pi de cos(nx)/[(5/4)-cosx]

Le but est de montrer que U1=2pi/3.

Voila merci d'avance!

[Hibiscus]

Qu'as-tu essayé de faire ?
Ou t'es-tu retrouvé bloqué ? / as-tu rencontré des problèmes ?

[Blanco]

Bonsoir
J'ai essayé de trouver une primitive mais en vain.

J'ai essayé de l'intégration par parties , de l'intégration par changement de variable et quelques transformations sans aboutir à une piste solide.

Je n'ai plus trop d'idées..

[Hibiscus]

Alors c'est qu'il te manque quelques souvenirs / astuces de trigo (qui rendent l'exercice difficile)
Déjà, avec le 5/4 en bas, on est sûr qu'il n'y aura pas de problème, donc c'est cool.

Ensuite, ya plusieurs possibilités :
La première, faire apparaître des $ sin^2(x/2) $. Et ensuite, si tu connais la primitive de 1/sin², ça ira.
Tu te retrouves avec la somme de deux fonctions que tu sais (en général primitiver), qui te donneront un truc du genre spoiler.
Sinon, tu peux écrire le numérateur comme (cosx-1)+1. Séparer à nouveau.
Et tu te retrouves à intégrer $ \int \frac{1}{1-cosx} $ Ce qui peut être plus chiant si tu ne la connais pas.. (faut passer par les tan(x/2)).

SPOILER:

Au fait, $ \int\frac{cos(x)}{1-cosx}=-x+2cot(x/2)+C $

[Blanco]

Merci beaucoup, j'ai réussi en écrivant le numérateur comme cox -1 +1