Convergence en probabilité

[BobbyJoe]

Il faut tronquer les variables aléatoires (un peu plus précisément que dans un post précédent, $ $$\displaystyle Y_{i}=X_{i}\mathrm{1}_{\{X_{i}\leq i\ln(i)^{1+\varepsilon}\}}$) et se ramener à ce cas par l'alternative "facile" de Borel-Cantelli.
J'ai longtemps cru, dans cet exercice, que la moyenne empirique proprement normalisée convergeait presque surement... Il n'en est rien!
De manière générale, les théorèmes limites en probas sans hypothèses de moment sont difficiles et assez pathologiques (mais c'est intéressant de se documenter sur le sujet!)