Convergence en probabilité

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Convergence en probabilité

Message par prepamath » 03 mai 2018 17:30

Bonjour, je m'interroge sur l'exercice suivant (accessible en 1ere année d'après l'officiel de la taupe bien que la convergence en probabilité soit hors programme..de spé..)
On considère une suite (Xn)n de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées définies sur un espace probabilisé telles que : $$ \forall n \in \mathbb{N}^{*},\forall k\in \mathbb{N}^{*}, P(Xn=k)=\frac{1}{k(k+1)} $$ : on pose $$ S_{n} = X_{1}+...X_{n} $$
Montrer que $$ \frac{S_{n}}{nln(n))} $$ converge en probabilité vers 1

J'ai essayé d'expliciter P(Sn=k)..sans résultat
Ou aussi de m'intéresser aux fonctions génératrices...sans résultat...

Puis je avoir une piste svp?

MErci à tous !

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Re: Convergence en probabilité

Message par matmeca_mcf1 » 03 mai 2018 18:47

Calcul de la fonction génératrice de X_1 pour t dans [0,1[:
$$
\sum_{k=1}^{+\infty}P(X_1=k)t^k=\sum_{k=1}^{+\infty}(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})t^k\\
=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{t^k}{k}-\frac{1}{t}\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{t^{k+1}}{k+1}\\
=\sum_{k=1}^{+\infty}\int_0^ts^{k-1}\mathrm{d}s-\frac{1}{t}\sum_{k=1}^{+\infty}\int_0^ts^{k}\mathrm{d}s\\
=\int_0^t\frac{1}{1-s}\mathrm{d}s-\frac{1}{t}\int_0^t\frac{s}{1-s}\mathrm{d}s\\
=-\ln(1-t)-\frac{1}{t}(-t-\ln(1-t))\\
=1-(1-\frac{1}{t})\ln(1-t)
$$

La fonction génératrice de $ S_n $ est la puissance nieme de la fonction génératrice de X_1.
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Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.

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Re: Convergence en probabilité

Message par prepamath » 03 mai 2018 19:24

Effectivement, j'en suis arrivé là aussi. et ensuite, comment avancer?

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Re: Convergence en probabilité

Message par matmeca_mcf1 » 03 mai 2018 19:40

Avez-vous vu des résultats qui vous donne des liens entre la convergence (simple? uniforme?) sur [-1,1[ de la fonction génératrice et la convergence en probas? Ou un résultat sur le lien entre convergence en probas et la convergence des dérivées successives en 0 de la fonction génératrice.
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Re: Convergence en probabilité

Message par prepamath » 03 mai 2018 19:46

Je vois comment arriver à un lien avec la convergence des dérivées successives en 0 de la fonction génératrice. mais je peine à exprimer celles-ci

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Re: Convergence en probabilité

Message par matmeca_mcf1 » 03 mai 2018 20:33

Est ce que vous avez dans votre cours un résultat sur le lien entre la convergence en loi vers une constante et la convergence en proba vers une constante? Avez-vous dans votre cours des résultats qui lient la convergence en loi de d'une variable aléatoire $ Y_n $ et la convergence pour tout $ \omega\in\mathbb{R} $ de $ \mathbb{E}(\exp(\mathrm{i}\omega Y_n)) $?
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Re: Convergence en probabilité

Message par prepamath » 03 mai 2018 20:37

Hum, non. à vrai dire, dans mon cours il n'y a rien sur la convergence en probabilité si ce n'est la définition et le fait qu'elle est entrainée par la convergence presque sûre

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Re: Convergence en probabilité

Message par matmeca_mcf1 » 03 mai 2018 21:18

Cet exercice me semblme bizarre, à cause du $ n\ln(n) $, la variable aléatoire dont on doit calculer la convergence en proba n'est plus à valeurs dans $ \mathbb{N} $, et le "support" de chaque variable aléatoire $ S_n/(n\ln(n) $ est discret mais différent pour chaque $ n $. On sort complètement du programme de MP. Est-ce que vous avez la loi des grands nombres dans votre cours de proba?

Pour référence, pour ceux qui ont fait des probas après la taupe. Si j'applique les résultats de proba plus avancés que ceux qu'on voit en taupe, j'obtiens
$$
\mathbb{E}(\exp(i\omega\frac{S_n}{n\ln(n)}))=\prod_{k=1}^{n}\mathbb{E}(\exp(i\omega \frac{X_k}{n\ln(n)}))=
\mathbb{E}\left(\exp(\frac{i\omega X_1}{n\ln(n)})\right)^n=\\=
\left(\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k(k+1)}\exp(\frac{i k\omega} {n\ln(n)})\right)^n.
$$
Après c'est hors programme de taupe et l'exo est résolu de toute façon. Je verrai demain si on peut finir le calcul explicitement pour montrer que cela converge vers $ \exp(i\omega) $.

EDIT: Correction erreur de calcul importante. Merci Kter. Aussi, l'espérance de $ X_k $ est infinie donc la loi des grands nombres ne passe pas. Et il n'y a pas de raison de douter de l'énoncé de départ était juste.

EDIT2: Et on termine en voyant que la quantité ci-dessous est égal pour $ \omega\neq 2m\pi $ à
$$
\left(1+\frac{1-\exp(\frac{i\omega}{n\ln(n)})}{\exp(\frac{i\omega}{n\ln(n)})}\ln(1-\exp(\frac{i\omega}{n\ln(n)}))\right)^n
$$
puis en montrant que
$$
\frac{1-\exp(\frac{i\omega}{n\ln(n)})}{\exp(\frac{i\omega}{n\ln(n)})}\ln(1-\exp(\frac{i\omega}{n\ln(n)}))=\frac{i\omega}{n}+o(\frac{1}{n}).
$$
Donc, on peut, résoudre l'exercice de cette manière mais on utilise un résultat hors programme.
Dernière modification par matmeca_mcf1 le 04 mai 2018 09:44, modifié 2 fois.
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Re: Convergence en probabilité

Message par noro » 03 mai 2018 23:17

matmeca_mcf1 a écrit :
03 mai 2018 21:18
Cet exercice me semblme bizarre, à cause du $ n\ln(n) $, la variable aléatoire dont on doit calculer la convergence en proba n'est plus à valeurs dans $ \mathbb{N} $, et le "support" de chaque variable aléatoire $ S_n/(n\ln(n) $ est discret mais différent pour chaque $ n $. On sort complètement du programme de MP. Est-ce que vous avez la loi des grands nombres dans votre cours de proba?

Pour référence, pour ceux qui ont fait des probas après la taupe. Si j'applique les résultats de proba plus avancés que ceux qu'on voit en taupe, j'obtiens
$$
\mathbb{E}(\exp(i\omega\frac{S_n}{n\ln(n)}))=\prod_{k=1}^{n}\mathbb{E}(\exp(i\omega \frac{X_k}{n\ln(n)}))=\mathbb{E}(\exp(i\omega X_1/\ln(n))
\xrightarrow[n\to+\infty]{}1=\exp(i\omega\cdot0).
$$
Donc, par des résultats de cours de probas de L3, $ S_n/(n\ln(n)) $ converge en loi vers $ 0 $ ce qui n'est pas ce qui est annoncé dans l'exercice. En effet, la convergence en proba implique la convergence en loi.
Bonsoir, je ne comprends pas pourquoi $$ \mathbb{E}(\exp(i\omega X_1/\ln(n))
\xrightarrow[n\to+\infty]{}1=\exp(i\omega\cdot0).
$$
Nothing happened.
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Re: Convergence en probabilité

Message par matmeca_mcf1 » 03 mai 2018 23:26

noro a écrit :
03 mai 2018 23:17
Bonsoir, je ne comprends pas pourquoi $$ \mathbb{E}(\exp(i\omega X_1/\ln(n))
\xrightarrow[n\to+\infty]{}1=\exp(i\omega\cdot0).
$$
Théorème de convergence dominé. Il est valide pour n'importe quelle mesure, et donc en particulier pour n'importe quelle mesure de probabilité. Mais on sort du programme de prépa.
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