X maths B 2018 ( version 2)

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Modérateurs : JeanN, Michel Quercia

alexMoo
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Re: X maths B 2018 ( version 2)

Message par alexMoo » sam. mai 05, 2018 11:13 pm

Sinon l'autre idée de ||P1||=< an+1 je vois bien... Merci !

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BijouRe
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Re: X maths B 2018 ( version 2)

Message par BijouRe » sam. mai 05, 2018 11:15 pm

alexMoo a écrit :
sam. mai 05, 2018 11:11 pm
1 appartient à Bn ? Pourquoi ?
A_n sorry
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Osvatski
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Re: X maths B 2018 ( version 2)

Message par Osvatski » dim. mai 06, 2018 12:31 am

Hmm je ne comprends pas pourquoi on peut pas dire que $$ \left | \left | P \right | \right |_{1}\leq 2M $$ où $$ M=sup_{x\in [-1,1]}\left | P(x) \right | $$ pour borner A_N ? ...
L'examinateur sort son portable de sa poche et le place à la verticale sur la table. Le portable tombe. Expliquer.

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Re: X maths B 2018 ( version 2)

Message par BijouRe » dim. mai 06, 2018 12:34 am

M dépend du polynome que tu choisis
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Re: X maths B 2018 ( version 2)

Message par Osvatski » dim. mai 06, 2018 12:35 am

Ah ...
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Re: X maths B 2018 ( version 2)

Message par Osvatski » dim. mai 06, 2018 12:59 am

BijouRe a écrit :
sam. mai 05, 2018 11:05 pm
1 appartient à Bn, or N(1)=2.
On prend la boule fermer B(0,2) pour la norme 1.
On a A_n inter B(0,2) est un fermé bornée, donc L atteint un min dessus puis par définition si P appartient à A_n :
Si il est dans l'intersection alors il est supérieur au min
Si il n'y est pas alors N(P)>2, donc supérieur au min
Hmm oui donc dans tous les cas pour P appartient à A_N, ||P||>min L(P) ? comment conclure ??
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Re: X maths B 2018 ( version 2)

Message par matmeca_mcf1 » dim. mai 06, 2018 7:32 am

Une remarque culturelle sur maths B, sujet de secours. La première partie traite des polynômes de Legendre qui servent en intégration numérique.
Ces polynômes sont tombés en maths 1 sur le concours CCP cette année (partie III) mais ils sont introduit différemment dans ce sujet. La formule employée dans la première partie pour définir ces polynômes s'appelle formule de Rodrigues.

Dans la deuxième partie, dans la question 10, on regarde ce que l'on appelle un lieu géométrique exprimé dans le plan complexe. Pour ce que j'en ai entendu, l'étude des lieux géométrique et des barycentres ont disparu du programme de terminale. Il se trouve que certaines parties de la question 10 ont fait partie de ce programme excepté que le lieu géométrique était exprimé dans le plan (non complexe). Et je trouve plus facile de voir que le lieu \( \{M:AM/BM=\lambda\} \) est un cercle (pour certaines valeurs de lambda) en utilisant les produits scalaires et les barycentres (avec poids) qu'en utilisant les complexes.
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Les opinions exprimées ci-dessus n'engagent que moi et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.

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Re: X maths B 2018 ( version 2)

Message par BijouRe » lun. mai 07, 2018 7:02 am

Osvatski a écrit :
dim. mai 06, 2018 12:59 am
Hmm oui donc dans tous les cas pour P appartient à A_N, ||P||>min L(P) ? comment conclure ??
Les deux dernières lignes concluent
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Re: X maths B 2018 ( version 2)

Message par dSP » lun. mai 07, 2018 12:06 pm

Ce sujet est très "vieille école" et je ne serais pas surpris qu'il ait été écrit il y a très longtemps (au moins une dizaine d'années). Cela change (en bien) des sujets interminables et mal ficelés que subissent les candidats de manière quasi-systématique depuis le début de la décennie.

Une remarque toutefois sur la partie II dans sa globalité : il y avait quand même une méthode nettement plus simple pour voir pourquoi tout polynôme pair optimal est nécessairement à racines dans \( [-1,1] \). On peut effet facilement, grâce à la parité, factoriser \( R_N \) en \( PQ \) où \( P \) est pair et a toutes ses racines dans \( ]-1,1[ \), et \( Q \) est pair et n'en a aucune, et en outre \( Q(1)=1 \). En particulier, \( Q \) reste strictement positif sur \( [-1,1] \), puis \( P \) y est donc positif au sens large. Il reste à voir que \( Q \) est constant : mais s'il ne l'est pas il est de degré au moins 2 et on peut alors en prendre une perturbation \( \widetilde{Q}=Q-\epsilon(1-X^2) \) avec \( \epsilon>0 \) assez petit (utiliser le fait que \( Q \) a un minimum strictement positif sur $[-1,1]$), et l'on démontre alors que \( L(P\widetilde{Q})<L(PQ) \), alors qu'évidemment \( P\widetilde{Q} \) est bien dans \( A_N \).
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Re: X maths B 2018 ( version 2)

Message par Maxence1402 » mar. mai 08, 2018 1:43 pm

Je n'ai pas compris non plus l'intérêt de la partie sur les cercles dans le plan complexe si ce n'est quelques techniques opératoires.
En effet, puisque R_N est un polynôme réel, on pouvait tout à fait utiliser la décomposition dans R[X] des polynômes, ce qui évitait d'avoir à utiliser des nombres complexe dans la décomposition. Ainsi, pour chacun des facteurs en (X-a)²+b², on utilise alors la parité de R_N pour montrer que a = 0, et ainsi, toutes les racines sont dans ]-1,1[.
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Re: X maths B 2018 ( version 2)

Message par dSP » mar. mai 08, 2018 3:09 pm

La parité de \( R_N \) produit a priori un facteur symétrique \( (X+a)^2+b^2 \) dont il convient tout de même de tenir compte !
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