Concours commun des mines MP MATHS 2

[oty20]

$ g=(dF_{x})^{-1} $ est linéaire donc continue en dimension finie , on dispose donc de C >0 telle que :
$ ||g(M)|| \leq C ||M|| $ pour toute matrice M dans Mn(C)

pour $ X $ dans la boule X etoile ,r , Posons $ H=X-X^{*} $
d’après 11)

$ ||G(X)-G(X^{*})|| \leq C ||H^{2}|| \leq C||H||^{2}=C ||X-X^{*}||^{2} $ , la suite (X_{k}) peut donc être définie , comme une suite récurrente $ X_{k+1}=G(X_{k}) $ , je pose $ X^{*}=B $ pour simplifier latex ; B est un point fixe de G .

il vient que $ ||X_{k+1}-B|| \leq C ||X_{k}-B||^{2}=(\sqrt{C} ||X_{k}-B||)^{2} $ , soit $ ||X_{k}-B||\leq (\sqrt{C} ||X_{0}-B||)^{2^{k}} \frac{1}{\sqrt{C}} $
$ C||X_{k+1}-B|| \leq (C||X_{k}-B||)^{2} \leq (C||X_{k-1}-B||)^{4=(k+1)-(k-1)} \leq (C||X_{k-2}-B||)^{2^{k+1-(k-2)} }
\\ \leq (C ||X_{k-p}-B||)^{2^{k+1-(k-p)}} $

pour $ p=k $ , on tire $ C||X_{k+1}-B|| \leq (C ||X_{0}-B||)^{2^{k+1}} $ par choix de $ ||X_{0}-B|| \leq \frac{\rho}{\sqrt{C}} $ , pour $ \rho $ suffisamment petit . On obtient bien l'égalité demandé

[Nabuco]

Je suis d accord que remplacer racine de C par C clairement semble la chose à faire d autant que ça ne change pas la conclusion, mais je voulais savoir si la question était vraie ou non (pour moi les concours sont du passé, mais je suis sur que certains auraient apprécié de savoir si c était vrai ou pas)
Oty20 je ne suis pas d accord avec l initialisation. L hérédité est simple. A la fin vous dites pour rho assez petit |X0-b|<rho/racine(C). L énoncé nous demande de fixer rho puis de montrer que pour tout X0 dans la.boule de centre b et de rayon rho on a l inégalité et ce n est pas ce qui est fait en effet sinon on obtient rho<= rhô/racine(C) ce qui est faux sans plus de détail..
Le problème c est que le rho est fixé avant de choisir X0 et inversement.
Passons aussi sur le fait que dans la rédaction donnée rien n assure la définition de Xk contrairement à ce qui est dit, c est la majoration par récurrence et le bon choix de rho qui l assure ( le fait de se placer dans B(B,r) N est pas suffisant il n y a pas de raison que ce soit stable par G

[oty20]

on peut prendre des le début $ \rho=\frac{r\sqrt{C}}{2} $ par exemple $ \frac{\rho}{\sqrt{C}} < r $

[Nabuco]

Ça me change rien du tout, essayez de prouver que si X0 appartient à la boule de centre B et de rayon rho alors |X0-B|<= rhô /racine (C) cela ne marche pas.
J ai rajouté dans mon précédent commentaire une remarque sur la définition de Xk qui est réellement mal traitée ou peu compréhensible

[matmeca_mcf1]

oty20. Vous avez encore des épreuves à passer demain. Vous ne devriez pas être sur le forum et vous devriez déjà être en train de dormir.

[oty20]

oui oui j'ai rédigé de tete ce qu'il m'a semblé devoir faire au brouillant pour trouver le bon choix de rho , en relisant l'énoncé oui effectivement pour construire X_{k+1} de manière récursive il faut s'assurer que G(X_{k}) reste dans la boule a chaque fois ... . , pour cela en choisit déjà , on choisit $ C>1 $, $ \rho= \sqrt{\frac{r}{c}} $ ce qui permet de garder la boule stable par G .

[matmeca_mcf1]

Passons aussi sur le fait que dans la rédaction donnée rien n assure la définition de Xk contrairement à ce qui est dit, c est la majoration par récurrence et le bon choix de rho qui l assure ( le fait de se placer dans B(B,r) N est pas suffisant il n y a pas de raison que ce soit stable par G

Il faut prendre $ \rho\leq\min(r,1/C) $ pour que $ X_k\in \bar{B}(X^*,\rho)\implies X_{k+1}\in \bar{B}(X^*,\rho) $.

[matmeca_mcf1]

oui oui j'ai rédigé de tete ce qu'il m'a semblé devoir faire au brouillant pour trouver le bon choix de rho , en relisant l'énoncé oui effectivement pour construire X_{k+1} de manière récursive il faut s'assurer que G(X_{k}) reste dans la boule a chaque fois ... . , pour cela en choisit déjà , on choisit $ C>1 $, $ \rho=\frac{r}{\sqrt{C}} $ ce qui permet de garder la boule stable par G .

Fermer votre ordinateur et allez dormir. Vous êtes à la veille de la dernière journée de concours des mines. Il faut absolument que vous arriviez reposée demain pour les dernières épreuves.

[oty20]

oula oui effectivement , c'est beaucoup plus simple , toute façon arriver a ce stade mon cerveau commencé déjà a cramer .


Edit : Merci beaucoup , je le fais de ce pas , bonne journée a vous et a nabuco .

[noro]

$ g=(dF_{x})^{-1} $ est linéaire donc continue en dimension finie , on dispose donc de C >0 telle que :
$ ||g(M)|| \leq C ||M|| $ pour toute matrice M dans Mn(C)

J'ai fait la même chose mais je crois que c'est faux, car G(X)-G(X*)=$ (dF_X)^{-1}((X-X*)^2) $ et pas $ (dF_{X*})^{-1}((X-X*)^2) $