Concours commun des mines MP MATHS 2

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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oty20
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Re: Concours commun des mines MP MATHS 2

Message par oty20 » mer. mai 09, 2018 12:28 am

\( g=(dF_{x})^{-1} \) est linéaire donc continue en dimension finie , on dispose donc de C >0 telle que :
\( ||g(M)|| \leq C ||M|| \) pour toute matrice M dans Mn(C)

pour \( X \) dans la boule X etoile ,r , Posons \( H=X-X^{*} \)
d’après 11)

\( ||G(X)-G(X^{*})|| \leq C ||H^{2}|| \leq C||H||^{2}=C ||X-X^{*}||^{2} \) , la suite (X_{k}) peut donc être définie , comme une suite récurrente \( X_{k+1}=G(X_{k}) \) , je pose \( X^{*}=B \) pour simplifier latex ; B est un point fixe de G .

il vient que \( ||X_{k+1}-B|| \leq C ||X_{k}-B||^{2}=(\sqrt{C} ||X_{k}-B||)^{2} \) , soit \( ||X_{k}-B||\leq (\sqrt{C} ||X_{0}-B||)^{2^{k}} \frac{1}{\sqrt{C}} \)
\( C||X_{k+1}-B|| \leq (C||X_{k}-B||)^{2} \leq (C||X_{k-1}-B||)^{4=(k+1)-(k-1)} \leq (C||X_{k-2}-B||)^{2^{k+1-(k-2)} }
\\ \leq (C ||X_{k-p}-B||)^{2^{k+1-(k-p)}} \)

pour \( p=k \) , on tire \( C||X_{k+1}-B|| \leq (C ||X_{0}-B||)^{2^{k+1}} \) par choix de \( ||X_{0}-B|| \leq \frac{\rho}{\sqrt{C}} \) , pour \( \rho \) suffisamment petit . On obtient bien l'égalité demandé
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Nabuco
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Re: Concours commun des mines MP MATHS 2

Message par Nabuco » mer. mai 09, 2018 12:45 am

Je suis d accord que remplacer racine de C par C clairement semble la chose à faire d autant que ça ne change pas la conclusion, mais je voulais savoir si la question était vraie ou non (pour moi les concours sont du passé, mais je suis sur que certains auraient apprécié de savoir si c était vrai ou pas)
Oty20 je ne suis pas d accord avec l initialisation. L hérédité est simple. A la fin vous dites pour rho assez petit |X0-b|<rho/racine(C). L énoncé nous demande de fixer rho puis de montrer que pour tout X0 dans la.boule de centre b et de rayon rho on a l inégalité et ce n est pas ce qui est fait en effet sinon on obtient rho<= rhô/racine(C) ce qui est faux sans plus de détail..
Le problème c est que le rho est fixé avant de choisir X0 et inversement.
Passons aussi sur le fait que dans la rédaction donnée rien n assure la définition de Xk contrairement à ce qui est dit, c est la majoration par récurrence et le bon choix de rho qui l assure ( le fait de se placer dans B(B,r) N est pas suffisant il n y a pas de raison que ce soit stable par G
Modifié en dernier par Nabuco le mer. mai 09, 2018 12:56 am, modifié 1 fois.

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oty20
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Re: Concours commun des mines MP MATHS 2

Message par oty20 » mer. mai 09, 2018 12:54 am

on peut prendre des le début \( \rho=\frac{r\sqrt{C}}{2} \) par exemple \( \frac{\rho}{\sqrt{C}} < r \)
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Nabuco
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Re: Concours commun des mines MP MATHS 2

Message par Nabuco » mer. mai 09, 2018 1:00 am

Ça me change rien du tout, essayez de prouver que si X0 appartient à la boule de centre B et de rayon rho alors |X0-B|<= rhô /racine (C) cela ne marche pas.
J ai rajouté dans mon précédent commentaire une remarque sur la définition de Xk qui est réellement mal traitée ou peu compréhensible

matmeca_mcf1
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Re: Concours commun des mines MP MATHS 2

Message par matmeca_mcf1 » mer. mai 09, 2018 1:01 am

oty20. Vous avez encore des épreuves à passer demain. Vous ne devriez pas être sur le forum et vous devriez déjà être en train de dormir.
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
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Les opinions exprimées ci-dessus n'engagent que moi et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.

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oty20
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Re: Concours commun des mines MP MATHS 2

Message par oty20 » mer. mai 09, 2018 1:13 am

oui oui j'ai rédigé de tete ce qu'il m'a semblé devoir faire au brouillant pour trouver le bon choix de rho , en relisant l'énoncé oui effectivement pour construire X_{k+1} de manière récursive il faut s'assurer que G(X_{k}) reste dans la boule a chaque fois ... . , pour cela en choisit déjà , on choisit \( C>1 \), \( \rho= \sqrt{\frac{r}{c}} \) ce qui permet de garder la boule stable par G .
Modifié en dernier par oty20 le mer. mai 09, 2018 1:16 am, modifié 1 fois.
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matmeca_mcf1
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Re: Concours commun des mines MP MATHS 2

Message par matmeca_mcf1 » mer. mai 09, 2018 1:14 am

Nabuco a écrit :
mer. mai 09, 2018 12:45 am
Passons aussi sur le fait que dans la rédaction donnée rien n assure la définition de Xk contrairement à ce qui est dit, c est la majoration par récurrence et le bon choix de rho qui l assure ( le fait de se placer dans B(B,r) N est pas suffisant il n y a pas de raison que ce soit stable par G
Il faut prendre \( \rho\leq\min(r,1/C) \) pour que \( X_k\in \bar{B}(X^*,\rho)\implies X_{k+1}\in \bar{B}(X^*,\rho) \).
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matmeca_mcf1
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Re: Concours commun des mines MP MATHS 2

Message par matmeca_mcf1 » mer. mai 09, 2018 1:16 am

oty20 a écrit :
mer. mai 09, 2018 1:13 am
oui oui j'ai rédigé de tete ce qu'il m'a semblé devoir faire au brouillant pour trouver le bon choix de rho , en relisant l'énoncé oui effectivement pour construire X_{k+1} de manière récursive il faut s'assurer que G(X_{k}) reste dans la boule a chaque fois ... . , pour cela en choisit déjà , on choisit \( C>1 \), \( \rho=\frac{r}{\sqrt{C}} \) ce qui permet de garder la boule stable par G .
Fermer votre ordinateur et allez dormir. Vous êtes à la veille de la dernière journée de concours des mines. Il faut absolument que vous arriviez reposée demain pour les dernières épreuves.
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Re: Concours commun des mines MP MATHS 2

Message par oty20 » mer. mai 09, 2018 1:19 am

oula oui effectivement , c'est beaucoup plus simple , toute façon arriver a ce stade mon cerveau commencé déjà a cramer :mrgreen: .


Edit : Merci beaucoup , je le fais de ce pas , bonne journée a vous et a nabuco .
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Re: Concours commun des mines MP MATHS 2

Message par noro » mer. mai 09, 2018 6:19 am

oty20 a écrit :
mer. mai 09, 2018 12:28 am
\( g=(dF_{x})^{-1} \) est linéaire donc continue en dimension finie , on dispose donc de C >0 telle que :
\( ||g(M)|| \leq C ||M|| \) pour toute matrice M dans Mn(C)
J'ai fait la même chose mais je crois que c'est faux, car G(X)-G(X*)=\( (dF_X)^{-1}((X-X*)^2) \) et pas \( (dF_{X*})^{-1}((X-X*)^2) \)
Nothing happened.
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Re: Concours commun des mines MP MATHS 2

Message par Le_Mulet » mer. mai 09, 2018 6:20 am

oty20 a écrit :
mer. mai 09, 2018 12:28 am
\( g=(dF_{x})^{-1} \) est linéaire donc continue en dimension finie , on dispose donc de C >0 telle que :
\( ||g(M)|| \leq C ||M|| \) pour toute matrice M dans Mn(C)
Petite question : ici le C dépend du x choisi non ?

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Re: Concours commun des mines MP MATHS 2

Message par BijouRe » mer. mai 09, 2018 7:19 am

Oui effectivement, mais je crois qu'on peut contourner le problème en prenant C=sup(|||(dF_(X*+H))^-1||| tq H appartient à B(0,r) ), comme H -->dF_(X*+H) et M --> |||M||| est continue et B(0,r) compact le sup est bien définie.
Mais comme la norme triple n'est pas au programme je sais pas si c'est valable ..
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Re: Concours commun des mines MP MATHS 2

Message par oty20 » mer. mai 09, 2018 11:26 am

oula j'ai plus fait attention a la dépendance en H de g , je croyais qu'on travaillait sur une direction fixe qui est X* ,oui effectivement , il doit y avoir un moyen , en utilisant l'autre expression , décorréler de (dF_{x^{*} +H} )^{-1}, mais bon ....
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Re: Concours commun des mines MP MATHS 2

Message par Le_Mulet » mer. mai 09, 2018 9:08 pm

Sinon on pouvait peut-être utiliser la bilinéarité de (x,y)->df_x(y)

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BijouRe
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Re: Concours commun des mines MP MATHS 2

Message par BijouRe » mer. mai 09, 2018 9:28 pm

Le_Mulet a écrit :
mer. mai 09, 2018 9:08 pm
Sinon on pouvait peut-être utiliser la bilinéarité de (x,y)->df_x(y)
Oui carrément :lol:
C'est bien plus simple
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