Concours commun des mines MP MATHS 2

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Modérateurs : JeanN, Michel Quercia

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noro
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Re: Concours commun des mines MP MATHS 2

Message par noro » mer. mai 09, 2018 9:33 pm

Le_Mulet a écrit :
mer. mai 09, 2018 9:08 pm
Sinon on pouvait peut-être utiliser la bilinéarité de (x,y)->df_x(y)
Le problème c'est qu'on regarde \( dF_X^{-1} \) et pas \( dF_X \).
Une solution possible je pense est d'invoquer la continuité de \( (x,y)\rightarrow dF_x^{-1}(y^2) \) sur le compact \( B_f(X*,r)\times S(0,1) \) donc atteint son max.
Nothing happened.
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matmeca_mcf1
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Re: Concours commun des mines MP MATHS 2

Message par matmeca_mcf1 » mer. mai 09, 2018 9:53 pm

Voilà comment on peut faire en dimension finie. Oubliez pour l'instant que vous travailler sur les matrices (F envoie une matrice sur une matrice). Je vais faire le cas général sans me préoccuper du cas particulier. On peut peut-être faire plus vite dans ce cas particulier. Et je ne cherche pas à rédiger style prépa.

Prenons \( G\colon\mathbb{R}^d\to\mathbb{R}^d \). L'ensemble \( GL_d(\mathbb{R} \) est un ouvert de \( \mathcal{M}_d(\mathbb{R}) \) est un ouvert. En effet, \( GL_d(\mathbb{R} \) est l'image réciproque par l'application déterminant de \( \mathbb{R}^* \) et l'application déterminant est continue. De plus, en passant par la comatrice, on observe que l'application
$$
GL_d(\mathbb{R})\to GL_d(\mathbb{R})\\
A\mapsto A^{-1}
$$
est de classe \( \mathcal{C}^\infty \).

Donc, si \( dG(x^*) \) est inversible, il existe \( r>0 \) tel que \( x\in\bar{B}(x^*,r) \) implique \( dG(x)\in GL_d(\mathbb{R}) \). Et
$$
\bar{B}(x^*,r)\to GL_d(\mathbb{R}
x\mapsto (dG(x))^{-1}
$$
est continue sur le fermé borné \( \bar{B}(x^*,r) \) donc borné (pour n'importe quelle norme car on est en dimension finie et donc en particulier pour n'importe quel norme subordonnée).

Maintenant \( F \) envoie des matrices de taille \( n \) sur des matrices de taille \( n \) et \( dF(x) \) appartient à \( \mathcal{L}(\mathcal{M}_n(\mathbb{R}),\mathcal{M}_n(\mathbb{R})) \) et tout ce qui est écrit plus haut s'applique quand on travaille sur des espaces de vecteurs colonnes. Et bien, cela ne change rien car out ce que l'on a écrit est valable en dimension finie car en tant qu'espace vectoriel \( \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \) est isomorphe à \( \mathbb{R}^{n^2} \).

Tout ce travail peut aussi être fait en dimension infinie (moyennant de travailler dans des espaces complets qui sont sortis du programme en 2013) mais c'est beaucoup plus compliqué.
SPOILER:
On travaille sans déterminant. On utilise la série \( (I-A)^{-1}=\sum_{k=0}^n(-A)^k \) quand \( \lVert A\rVert\leq 1 \), et on obtient que si \( \psi\colon A\to A^{-1} \) alors \( d\psi(A)(H)=-A^{-1}HA^{-1} \).
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP)
Les opinions exprimées ci-dessus n'engagent que moi et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.

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