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Message par Bidoof » 10 mai 2018 10:43

Salut à tous.

Je cherche une fonction lisse tel que sur $[0;1]$ elle donne 1 et sur $[2;+\infty[$ elle donne 0.

J'ai trouvé $F(x) = \frac{1}{F(1)} \int_{x}^{2} exp(-\frac{1}{1-(2t-3)^2})dt$.

Peut être y'a-t-il une méthode plus générale.

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Message par Zetary » 10 mai 2018 11:20

Hello,

Je ne crois pas qu'il y ait vraiment de méthode plus élémentaire pour construire une telle fonction. On peut cependant citer un résultat plus général (mais dont la preuve utilise cette fonction justement), le théorème de Borel qui dit que pour toute suite réelle $ (a_n)_{n\in\mathbb{N}} $ il existe une fonction f indéfiniment dérivable et à support compact telle que pour tout entier n on ait $ f^{(n)}(0) = a_n $

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Message par bullquies » 10 mai 2018 11:22

lisse veut dire indéfiniment dérivable ?
The Axiom of Choice is obviously true, the Well-Ordering Principle is obviously false, and nobody knows about Zorn's Lemma. - Jerry Bona

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Message par Bidoof » 10 mai 2018 11:31

ouais.

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Message par matmeca_mcf1 » 10 mai 2018 14:03

Il y a pas mal de façons de montrer l'existence de tels fonctions.

Il y a une construction intéressante mais plus compliquée (et complètement hors-programme) dans un des Hörmander (je pense le analysis of linear operator I, à vérifier). Elle se base sur le produit de convolution et sur les fonctions caractéristiques: on regarde la limite du produit de convolution de $ n $ fonctions caractéristiques, car le produit de convolutions de $ n $ fonction caractéristiques est de classe $ \mathcal{C}^{n-2} $ et on arrive à montrer que la limite est $ \mathcal{C}^\infty $. Sont intérêt est qu'elle donne une estimation explicite de la norme infinie de toutes les dérivées successives. Pour n'importe qu'elle suite de $ (d_n)_{n\in\mathbb{N}} $ de réels strictement positifs vérifiant $ \sum_n d_n<+\infty $, on peut créer une fonction lisse f qui vaut 1 sur un compact F, qui vaut $ 0 $ sur $ \{x\text{ t q }\mathrm{dist}(x,F)>\sum_{n}d_n\} $, et dont la norme infinie de $ f^{(k)} $ est majoré explicitement en fonction des $ 1/d_i $.
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP) filière matmeca
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.

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Message par siro » 10 mai 2018 16:41

De manière plus générale, voir les fonctions à support compact, c'est-à-dire qui sont nulles hors d'un certain intervalle et qui sont de classe C-infinie. Un exemple d'une telle fonction simple existe ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_ ... rt_compact

Méthode générale : on définit la fonction "marche", qui consiste à passer de 0 en 0 à 1 en 1 de manière lisse, et ensuite on compose.
Pour ta fonction par exemple, la fonction qui vaut 0 entre 0 et 1, 1 entre 2 et l'infini et la fonction marche (avec un décalage de 1) entre 1 et 2 convient. Fin bref avec des opérations géométriques basiques ça fonctionne.
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Message par Siméon » 10 mai 2018 17:44

Dans le même genre d'idées que ci-dessus, la convolution par un noyau régularisant permet d'approcher par une fonction lisse à peu près tout et n'importe quoi :

1. On part d'une fonction à approcher $ H : x\mapsto \begin{cases}1 & \text{si }x \leq \frac32\\0 & \text{si }x > \frac32\end{cases} $

2. On considère $ \phi \in C^\infty(\mathbb R,\mathbb R) $ nulle en dehors de $\mathopen]-1,1\mathclose[$ telle que $\int_{-1}^1 \phi(x)\,dx = 1$ et pour tout $\varepsilon > 0$, on pose $\phi_\epsilon : x \mapsto \frac1\varepsilon\, \phi(\frac x\varepsilon)$, qui est nulle en dehors de $]-\varepsilon,\varepsilon[$ et d'intégrale 1.

3. On approche alors $H$ par la fonction $H \ast \phi_\varepsilon$ définie par :
$$
\forall x \in \mathbb R,\quad H\ast \phi_\varepsilon (x) = \int_{-\infty}^{+\infty} H(t) \phi_\varepsilon(x-t)\,dt = \int_{-\infty}^{+\infty} H(x-u)\phi_\varepsilon(u)\,du = \int_{-\varepsilon}^\varepsilon H(x-u)\phi_\varepsilon(u)\,du
$$
Il s'agit d'une fonction $C^\infty$ sur $\mathbb R$ et pour $\varepsilon = \frac12$ (ou plus petit), elle vérifie les conditions qui t'intéresse (du fait du support). Un choix standard pour $\phi$ est la fonction $x \mapsto \exp\left(\frac1{x^2-1}\right)\mathbf 1_{\{|x| < 1\}}$ convenablement renormalisée. Dans ce cas on retombe sur ta fonction.

En bonus, il y a convergence de $H \ast \phi_\varepsilon$ vers $H$ lorsque $\varepsilon \to 0$ pour tout un tas de normes. La plupart des théorèmes de densité dans les espaces fonctionnels s'obtiennent d'ailleurs par ce procédé (y compris le théorème d'approximation de Weierstrass si on choisit un noyau adéquat).
Dernière modification par Siméon le 11 mai 2018 09:48, modifié 1 fois.

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Message par siro » 10 mai 2018 19:22

Je jouerais pas au distributions avec un taupin. Sans une introduction des distributions un peu rigoureuse on écrit rapidement plein de bêtises.
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Message par oty20 » 10 mai 2018 19:40

oui , malheureusement le nombre de vues qu'il reçoit ne motive pas ..... Dommage
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .

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Message par oty20 » 10 mai 2018 20:36

oui oui , quasiment toutes .
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .

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