Connexité par arcs

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Modérateurs : JeanN, Michel Quercia

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noro
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Connexité par arcs

Message par noro » ven. mai 11, 2018 6:40 pm

Bonjour,
Je n'arrive pas à montrer que si \( C \) est connexe par arcs alors pour tout \( a, b \in C \), il existe un chemin injectif continu de \( a \) à \( b \).
Des idées ?
Nothing happened.
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Re: Connexité par arcs

Message par Dattier » ven. mai 11, 2018 6:49 pm

Bonjour,

Si $\gamma$ un chemin de $a,b$.
On note $E=\{x\in[0,1] \text{ ; } \exists c \in [0,1], c\neq x\text{ et } \gamma(x)=\gamma(c) \}$

cas 1 : $E$ est vide alors le chemin est injectif.

cas 2 : $E$ est non vide, montrer que $E$ est fini et conclure.

Bonne journée.
Raisonnement exact : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus des concernés

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Message par Dattier » ven. mai 11, 2018 7:12 pm

Je me trompe $E$ n'est pas forcément fini.
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Re: Connexité par arcs

Message par Dattier » ven. mai 11, 2018 7:16 pm

Travailler avec $E_n=\{x\in [0,1]\text{ ; } \exists c\in [0,1], |c-x|\geq \frac{1}{n}\text{ et } \gamma(x)=\gamma(c)\}$
Sachant que $E=\bigcup \limits_{n\in \mathbb N^*} E_n $
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noro
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Re: Connexité par arcs

Message par noro » ven. mai 11, 2018 7:46 pm

Dattier a écrit :
ven. mai 11, 2018 7:16 pm
Travailler avec $E_n=\{x\in [0,1]\text{ ; } \exists c\in [0,1], |c-x|\geq \frac{1}{n}\text{ et } \gamma(x)=\gamma(c)\}$
Sachant que $E=\bigcup \limits_{n\in \mathbb N^*} E_n $
Super idée j'essaie de rédiger ça ce soir merci.
Nothing happened.
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Message par Dattier » ven. mai 11, 2018 7:50 pm

Avec plaisir
Raisonnement exact : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus des concernés

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Re: Connexité par arcs

Message par Dattier » ven. mai 11, 2018 8:45 pm

En fait je me rends compte que c'est beaucoup plus compliqué que prévut, et que le chemin que je te proposais, ne marche sûrement pas.

En effet si on pouvait rendre injectif, n'importe quel chemin, on pourrait le faire avec le chemin de Peano, qui envoit, [0,1] dans [0,1]^2 de manière surjective, le chemin injectif garderait le côté surjectif et en plus injectif, ce qui permettrait d'en faire une bijection, ce qui est impossible.

Désolé.

Où as-tu trouvé, ce problème ?
Raisonnement exact : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus des concernés

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Re: Connexité par arcs

Message par noro » ven. mai 11, 2018 10:07 pm

Finalement le pb c'est que les En peuvent être infinis non dénombrable dommage,
Le problème provient de quelqu'un que connais qui n'a pas réussi non plus à le résoudre...
Nothing happened.
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Re: Connexité par arcs

Message par dSP » sam. mai 12, 2018 9:06 am

Vous avez mis le doigt sur une question difficile. Un forum est assez inadapté pour y répondre. Je vous donne deux références :

(1) ma réponse R852 de la RMS 126-3 "Débouclage d'un chemin dans un espace séparé"

(2) la réponse R313 de la RMS 108-7 par Hervé Pépin.

La seconde est plus élémentaire.
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Re: Connexité par arcs

Message par Dattier » sam. mai 12, 2018 1:51 pm

Bonjour,

@dSP : pourrais-tu nous indiquer les ingrédients principaux ?

Bonne journée.
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Re: Connexité par arcs

Message par noro » sam. mai 12, 2018 2:55 pm

dSP a écrit :
sam. mai 12, 2018 9:06 am
Vous avez mis le doigt sur une question difficile. Un forum est assez inadapté pour y répondre. Je vous donne deux références :

(1) ma réponse R852 de la RMS 126-3 "Débouclage d'un chemin dans un espace séparé"

(2) la réponse R313 de la RMS 108-7 par Hervé Pépin.

La seconde est plus élémentaire.
Merci, j'ai compris l'idée de votre preuve mais je n'ai pas encore tout compris,
En tout cas c'est plus compliqué que prévu...
Par contre je n'ai pas trouvé la seconde preuve.
Nothing happened.
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Re: Connexité par arcs

Message par dSP » sam. mai 12, 2018 6:13 pm

Les deux démonstrations ont le même point de départ : retirer les boucles.

Dans la mienne, on commence par retirer une boucle dont les antécédents sont à distance maximale l'un de l'autre, on oublie tout ce qui se produit entre les deux points (au sens strict), et on répète le procédé de manière itérative. On poursuit et on se retrouve avec une fonction qui n'est plus définie sur un segment (il reste une sorte de gruyère). Ensuite, la deuxième étape est d'utiliser cette espèce de chemin à trous pour reconstituer un authentique arc.

Dans la démonstration d'Hervé Pépin, on fait presque la même chose mais à la première boucle identifiée on reparamètre le chemin intelligemment pour la tuer. On répète le processus indéfiniment et on démontre que les chemins successifs ainsi construits convergent uniformément vers un arc simple. Il y a des arguments de complétude sous-jacents.
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Re: Connexité par arcs

Message par BobbyJoe » dim. mai 13, 2018 8:39 pm

Il s'agit d'un lemme bien connu (troll?) des personnes qui font de la théorie géométrique de la mesure (je ne sais pas si ce résultat a été recensé dans la littérature auparavant!). Mettre un ordre partiel sur les courbes (pour les rendre plus "injective") et utiliser le lemme de Zorn en somme...
La seule trace que j'en ai trouvée est ce document (Lemma $2.2$ p$6$) : http://www.math.cmu.edu/~xinyang/adp_regularity4.pdf.

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Re: Connexité par arcs

Message par Dattier » dim. mai 13, 2018 9:11 pm

Bonsoir,

@Bobby : peux tu donner le nom du moteur de recherche que tu as utilisé ?

Bonne soirée.
Raisonnement exact : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus des concernés

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Re: Connexité par arcs

Message par BobbyJoe » dim. mai 13, 2018 9:15 pm

euh pourquoi? J'ai utilisé google comme d'hab ^^
Je savais que ce résultat était recensé quelque part, il s'agissait d'un exercice (d'une remarque plutôt) donné(e) lors d'un cours que j'avais suivi en master \( \)$2$ à Orsay, à l'époque.
Finalement, il me semble qu'une preuve (mais fausse) est recensée dans la littérature (folklore amusant :p) dans livre de K. Falconer : Geometry of Fractal sets (Lemma \( \)$3.1$ p\( \)$29$).

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