Connexité par arcs
Connexité par arcs
Bonjour,
Je n'arrive pas à montrer que si $ C $ est connexe par arcs alors pour tout $ a, b \in C $, il existe un chemin injectif continu de $ a $ à $ b $.
Des idées ?
Je n'arrive pas à montrer que si $ C $ est connexe par arcs alors pour tout $ a, b \in C $, il existe un chemin injectif continu de $ a $ à $ b $.
Des idées ?
Nothing happened.
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L3 Maths-Info
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Re: Connexité par arcs
Super idée j'essaie de rédiger ça ce soir merci.
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Re: Connexité par arcs
Finalement le pb c'est que les En peuvent être infinis non dénombrable dommage,
Le problème provient de quelqu'un que connais qui n'a pas réussi non plus à le résoudre...
Le problème provient de quelqu'un que connais qui n'a pas réussi non plus à le résoudre...
Nothing happened.
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Re: Connexité par arcs
Vous avez mis le doigt sur une question difficile. Un forum est assez inadapté pour y répondre. Je vous donne deux références :
(1) ma réponse R852 de la RMS 126-3 "Débouclage d'un chemin dans un espace séparé"
(2) la réponse R313 de la RMS 108-7 par Hervé Pépin.
La seconde est plus élémentaire.
(1) ma réponse R852 de la RMS 126-3 "Débouclage d'un chemin dans un espace séparé"
(2) la réponse R313 de la RMS 108-7 par Hervé Pépin.
La seconde est plus élémentaire.
Professeur de Mathématiques en MP*/MPI* au lycée Hoche
Re: Connexité par arcs
Merci, j'ai compris l'idée de votre preuve mais je n'ai pas encore tout compris,dSP a écrit : ↑12 mai 2018 09:06Vous avez mis le doigt sur une question difficile. Un forum est assez inadapté pour y répondre. Je vous donne deux références :
(1) ma réponse R852 de la RMS 126-3 "Débouclage d'un chemin dans un espace séparé"
(2) la réponse R313 de la RMS 108-7 par Hervé Pépin.
La seconde est plus élémentaire.
En tout cas c'est plus compliqué que prévu...
Par contre je n'ai pas trouvé la seconde preuve.
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Re: Connexité par arcs
Les deux démonstrations ont le même point de départ : retirer les boucles.
Dans la mienne, on commence par retirer une boucle dont les antécédents sont à distance maximale l'un de l'autre, on oublie tout ce qui se produit entre les deux points (au sens strict), et on répète le procédé de manière itérative. On poursuit et on se retrouve avec une fonction qui n'est plus définie sur un segment (il reste une sorte de gruyère). Ensuite, la deuxième étape est d'utiliser cette espèce de chemin à trous pour reconstituer un authentique arc.
Dans la démonstration d'Hervé Pépin, on fait presque la même chose mais à la première boucle identifiée on reparamètre le chemin intelligemment pour la tuer. On répète le processus indéfiniment et on démontre que les chemins successifs ainsi construits convergent uniformément vers un arc simple. Il y a des arguments de complétude sous-jacents.
Dans la mienne, on commence par retirer une boucle dont les antécédents sont à distance maximale l'un de l'autre, on oublie tout ce qui se produit entre les deux points (au sens strict), et on répète le procédé de manière itérative. On poursuit et on se retrouve avec une fonction qui n'est plus définie sur un segment (il reste une sorte de gruyère). Ensuite, la deuxième étape est d'utiliser cette espèce de chemin à trous pour reconstituer un authentique arc.
Dans la démonstration d'Hervé Pépin, on fait presque la même chose mais à la première boucle identifiée on reparamètre le chemin intelligemment pour la tuer. On répète le processus indéfiniment et on démontre que les chemins successifs ainsi construits convergent uniformément vers un arc simple. Il y a des arguments de complétude sous-jacents.
Professeur de Mathématiques en MP*/MPI* au lycée Hoche
Re: Connexité par arcs
Il s'agit d'un lemme bien connu (troll?) des personnes qui font de la théorie géométrique de la mesure (je ne sais pas si ce résultat a été recensé dans la littérature auparavant!). Mettre un ordre partiel sur les courbes (pour les rendre plus "injective") et utiliser le lemme de Zorn en somme...
La seule trace que j'en ai trouvée est ce document (Lemma $2.2$ p$6$) : http://www.math.cmu.edu/~xinyang/adp_regularity4.pdf.
La seule trace que j'en ai trouvée est ce document (Lemma $2.2$ p$6$) : http://www.math.cmu.edu/~xinyang/adp_regularity4.pdf.
Re: Connexité par arcs
euh pourquoi? J'ai utilisé google comme d'hab ^^
Je savais que ce résultat était recensé quelque part, il s'agissait d'un exercice (d'une remarque plutôt) donné(e) lors d'un cours que j'avais suivi en master $ $$2$ à Orsay, à l'époque.
Finalement, il me semble qu'une preuve (mais fausse) est recensée dans la littérature (folklore amusant :p) dans livre de K. Falconer : Geometry of Fractal sets (Lemma $ $$3.1$ p$ $$29$).
Je savais que ce résultat était recensé quelque part, il s'agissait d'un exercice (d'une remarque plutôt) donné(e) lors d'un cours que j'avais suivi en master $ $$2$ à Orsay, à l'époque.
Finalement, il me semble qu'une preuve (mais fausse) est recensée dans la littérature (folklore amusant :p) dans livre de K. Falconer : Geometry of Fractal sets (Lemma $ $$3.1$ p$ $$29$).
Re: Connexité par arcs
Je mettrais ma main à couper que ce résultat est connu depuis Kuratowski. Il figure probablement dans l'un de ses deux ouvrages intitulés "Topology (I)" et "Topology (II)".
Professeur de Mathématiques en MP*/MPI* au lycée Hoche