Connexité par arcs

[noro]

Bonjour,
Je n'arrive pas à montrer que si $ C $ est connexe par arcs alors pour tout $ a, b \in C $, il existe un chemin injectif continu de $ a $ à $ b $.
Des idées ?

[noro]

Travailler avec $E_n=\{x\in [0,1]\text{ ; } \exists c\in [0,1], |c-x|\geq \frac{1}{n}\text{ et } \gamma(x)=\gamma(c)\}$
Sachant que $E=\bigcup \limits_{n\in \mathbb N^*} E_n $

Super idée j'essaie de rédiger ça ce soir merci.

[noro]

Finalement le pb c'est que les En peuvent être infinis non dénombrable dommage,
Le problème provient de quelqu'un que connais qui n'a pas réussi non plus à le résoudre...

[dSP]

Vous avez mis le doigt sur une question difficile. Un forum est assez inadapté pour y répondre. Je vous donne deux références :

(1) ma réponse R852 de la RMS 126-3 "Débouclage d'un chemin dans un espace séparé"

(2) la réponse R313 de la RMS 108-7 par Hervé Pépin.

La seconde est plus élémentaire.

[noro]

Vous avez mis le doigt sur une question difficile. Un forum est assez inadapté pour y répondre. Je vous donne deux références :

(1) ma réponse R852 de la RMS 126-3 "Débouclage d'un chemin dans un espace séparé"

(2) la réponse R313 de la RMS 108-7 par Hervé Pépin.

La seconde est plus élémentaire.

Merci, j'ai compris l'idée de votre preuve mais je n'ai pas encore tout compris,
En tout cas c'est plus compliqué que prévu...
Par contre je n'ai pas trouvé la seconde preuve.

[dSP]

Les deux démonstrations ont le même point de départ : retirer les boucles.

Dans la mienne, on commence par retirer une boucle dont les antécédents sont à distance maximale l'un de l'autre, on oublie tout ce qui se produit entre les deux points (au sens strict), et on répète le procédé de manière itérative. On poursuit et on se retrouve avec une fonction qui n'est plus définie sur un segment (il reste une sorte de gruyère). Ensuite, la deuxième étape est d'utiliser cette espèce de chemin à trous pour reconstituer un authentique arc.

Dans la démonstration d'Hervé Pépin, on fait presque la même chose mais à la première boucle identifiée on reparamètre le chemin intelligemment pour la tuer. On répète le processus indéfiniment et on démontre que les chemins successifs ainsi construits convergent uniformément vers un arc simple. Il y a des arguments de complétude sous-jacents.

[BobbyJoe]

Il s'agit d'un lemme bien connu (troll?) des personnes qui font de la théorie géométrique de la mesure (je ne sais pas si ce résultat a été recensé dans la littérature auparavant!). Mettre un ordre partiel sur les courbes (pour les rendre plus "injective") et utiliser le lemme de Zorn en somme...
La seule trace que j'en ai trouvée est ce document (Lemma $2.2$ p$6$) : http://www.math.cmu.edu/~xinyang/adp_regularity4.pdf.

[BobbyJoe]

euh pourquoi? J'ai utilisé google comme d'hab ^^
Je savais que ce résultat était recensé quelque part, il s'agissait d'un exercice (d'une remarque plutôt) donné(e) lors d'un cours que j'avais suivi en master $ $$2$ à Orsay, à l'époque.
Finalement, il me semble qu'une preuve (mais fausse) est recensée dans la littérature (folklore amusant :p) dans livre de K. Falconer : Geometry of Fractal sets (Lemma $ $$3.1$ p$ $$29$).

[dSP]

Je mettrais ma main à couper que ce résultat est connu depuis Kuratowski. Il figure probablement dans l'un de ses deux ouvrages intitulés "Topology (I)" et "Topology (II)".