Une suite de fonction

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Modérateurs : JeanN, Michel Quercia

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Roachy
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Une suite de fonction

Message par Roachy » mar. mai 15, 2018 6:39 pm

Bonsoir,
je bloque sur la question 2 de cet énoncé :

https://www.concours-centrale-supelec.f ... P-Mat1.pdf

auriez-vous une idée de la solution/une indication ?
merci d'avance

Krik
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Re: Une suite de fonction

Message par Krik » mar. mai 15, 2018 8:01 pm


Roachy
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Re: Une suite de fonction

Message par Roachy » mar. mai 15, 2018 8:46 pm

merci Krik

alexMoo
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Re: Une suite de fonction

Message par alexMoo » dim. mai 20, 2018 5:05 am

J'ai pas compris la réponse à la qst 3 ?

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oty20
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Re: Une suite de fonction

Message par oty20 » dim. mai 20, 2018 3:48 pm

Bonjour , si tu poses $ g(x)=\ln(\Gamma(x)) $ , tu as
$ g(x+1)-g(x)=\ln(\frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x)})=\ln(x) $ , $ g(1)=0 $ , gamma étant de classe c infinie
$ g'(x)=\frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)} $ , $ g''(x)=\frac{\Gamma''(x)\Gamma(x)-(\Gamma'(x))^{2}}{\Gamma(x)^{2}} \geq 0 $ par C-S donc $ g $ convexe , d’après la question $ b) $ par unicité de la solution : $ g(x)=f(x) $
donc $ \Gamma(x)=e^{f(x)}=e^{-\ln(x)+\sum_{k=0}^{+\infty} u_{k}(x)} $

j’espère que cela t'aide a y voir plus claire .


Il y a plus simple pour établir ce résultat :

considérer $ f_{n}(t)=t^{x-1}(1-\frac{t}{n})^{n} , $ pour $ t\in ]0,n] $ et $ f_{n}(t)=0 $ pour $ t>n $

$ I_{n}=\int_{0}^{n} f_{n}(t) dt=\int_{0}^{+\infty} f_{n}(t) dt $ et appliquée le théorème de CV Dominée a $ (f_{n}) $
-sup: public -> Spé:chez moi.
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alexMoo
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Re: Une suite de fonction

Message par alexMoo » dim. mai 20, 2018 4:44 pm

merci oty20
pour la 2nd méthode , je vois pas comment tu trouves l'expression demandé à partir de I_n ? t'as fais un changement de variable ?

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oty20
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Re: Une suite de fonction

Message par oty20 » dim. mai 20, 2018 5:44 pm

Voici les grandes lignes :
1)tu peux remarquer que $ I_{n}(x)=B_{n,n}(x) $ , ou $ B_{n,m}(x)=\int_{0}^{n} t^{x-1}(1-\frac{t}{n})^{m} $

2) tu peux trouver une relation de récurrence $ B_{n,m}=\frac{m}{nx} B_{n,m-1}(x+1) $

3) Déduire $ B_{n,m}(x)=\frac{m}{nx} \frac{m-1}{n(x+1)}....\frac{1}{x+m-1}B_{n,0}(x+m) $ , et conclure .
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Re: Une suite de fonction

Message par alexMoo » dim. mai 20, 2018 6:12 pm

OK parfait c'est donc la fonction bêta

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