Une suite de fonction
Une suite de fonction
Bonsoir,
je bloque sur la question 2 de cet énoncé :
https://www.concours-centrale-supelec.f ... P-Mat1.pdf
auriez-vous une idée de la solution/une indication ?
merci d'avance
je bloque sur la question 2 de cet énoncé :
https://www.concours-centrale-supelec.f ... P-Mat1.pdf
auriez-vous une idée de la solution/une indication ?
merci d'avance
Re: Une suite de fonction
merci Krik
Re: Une suite de fonction
J'ai pas compris la réponse à la qst 3 ?
Re: Une suite de fonction
Bonjour , si tu poses $ g(x)=\ln(\Gamma(x)) $ , tu as
$ g(x+1)-g(x)=\ln(\frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x)})=\ln(x) $ , $ g(1)=0 $ , gamma étant de classe c infinie
$ g'(x)=\frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)} $ , $ g''(x)=\frac{\Gamma''(x)\Gamma(x)-(\Gamma'(x))^{2}}{\Gamma(x)^{2}} \geq 0 $ par C-S donc $ g $ convexe , d’après la question $ b) $ par unicité de la solution : $ g(x)=f(x) $
donc $ \Gamma(x)=e^{f(x)}=e^{-\ln(x)+\sum_{k=0}^{+\infty} u_{k}(x)} $
j’espère que cela t'aide a y voir plus claire .
Il y a plus simple pour établir ce résultat :
considérer $ f_{n}(t)=t^{x-1}(1-\frac{t}{n})^{n} , $ pour $ t\in ]0,n] $ et $ f_{n}(t)=0 $ pour $ t>n $
$ I_{n}=\int_{0}^{n} f_{n}(t) dt=\int_{0}^{+\infty} f_{n}(t) dt $ et appliquée le théorème de CV Dominée a $ (f_{n}) $
$ g(x+1)-g(x)=\ln(\frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x)})=\ln(x) $ , $ g(1)=0 $ , gamma étant de classe c infinie
$ g'(x)=\frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)} $ , $ g''(x)=\frac{\Gamma''(x)\Gamma(x)-(\Gamma'(x))^{2}}{\Gamma(x)^{2}} \geq 0 $ par C-S donc $ g $ convexe , d’après la question $ b) $ par unicité de la solution : $ g(x)=f(x) $
donc $ \Gamma(x)=e^{f(x)}=e^{-\ln(x)+\sum_{k=0}^{+\infty} u_{k}(x)} $
j’espère que cela t'aide a y voir plus claire .
Il y a plus simple pour établir ce résultat :
considérer $ f_{n}(t)=t^{x-1}(1-\frac{t}{n})^{n} , $ pour $ t\in ]0,n] $ et $ f_{n}(t)=0 $ pour $ t>n $
$ I_{n}=\int_{0}^{n} f_{n}(t) dt=\int_{0}^{+\infty} f_{n}(t) dt $ et appliquée le théorème de CV Dominée a $ (f_{n}) $
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .
Re: Une suite de fonction
merci oty20
pour la 2nd méthode , je vois pas comment tu trouves l'expression demandé à partir de I_n ? t'as fais un changement de variable ?
pour la 2nd méthode , je vois pas comment tu trouves l'expression demandé à partir de I_n ? t'as fais un changement de variable ?
Re: Une suite de fonction
Voici les grandes lignes :
1)tu peux remarquer que $ I_{n}(x)=B_{n,n}(x) $ , ou $ B_{n,m}(x)=\int_{0}^{n} t^{x-1}(1-\frac{t}{n})^{m} $
2) tu peux trouver une relation de récurrence $ B_{n,m}=\frac{m}{nx} B_{n,m-1}(x+1) $
3) Déduire $ B_{n,m}(x)=\frac{m}{nx} \frac{m-1}{n(x+1)}....\frac{1}{x+m-1}B_{n,0}(x+m) $ , et conclure .
1)tu peux remarquer que $ I_{n}(x)=B_{n,n}(x) $ , ou $ B_{n,m}(x)=\int_{0}^{n} t^{x-1}(1-\frac{t}{n})^{m} $
2) tu peux trouver une relation de récurrence $ B_{n,m}=\frac{m}{nx} B_{n,m-1}(x+1) $
3) Déduire $ B_{n,m}(x)=\frac{m}{nx} \frac{m-1}{n(x+1)}....\frac{1}{x+m-1}B_{n,0}(x+m) $ , et conclure .
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .
Re: Une suite de fonction
OK parfait c'est donc la fonction bêta