Dénombrement

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Modérateurs : JeanN, Michel Quercia

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Lucaz
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Dénombrement

Message par Lucaz » lun. mai 21, 2018 10:56 am

Bonjour, j'ai commencé le dénombrement il n'y a pas trop longtemps et j'ai du mal même pour des exos assez basiques. Un exemple que j'aimerais qu'on m'explique :
Soit E un ensemble fini de cardinal n et A une partie de E de cardinal p
Le cardinal de l'ensemble des parties de E contenant A vaut le cardinal de l'ensemble des parties de E\A et je n'arrive pas du tout à voir en quoi.
Merci d'avance

matmeca_mcf1
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Re: Dénombrement

Message par matmeca_mcf1 » lun. mai 21, 2018 11:01 am

L'application
$$
\mathcal{P}(E\setminus A)\to\{C\in\mathcal{P}(E):C\supset A\}\\
B\mapsto A\cup B
$$
est une bijection. L'application inverse est
$$
\{C\in\mathcal{P}(E):C\supset A\}\to\mathcal{P}(E\setminus A)\\
C\mapsto C\cap(E\setminus A)
$$
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'enseirb-matmeca.
Les opinions exprimées ci-dessus n'engagent que moi et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.

Lucaz
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Re: Dénombrement

Message par Lucaz » lun. mai 21, 2018 11:31 am

Merci de votre réponse.
Mais en quoi ce résonnement est faux ? :
{Parties de E}={Parties de E\A} Union disjointe {Parties de E contenant A}
Donc Card{Parties de E contenant A} = Card{Parties de E} - Card{Parties de E\A}

Almar
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Re: Dénombrement

Message par Almar » lun. mai 21, 2018 11:33 am

Une partie de E contenant A est caractérisée par les éléments de E que tu ajoutes à A (on sait qu'il y a les éléments de A, on s'intéresse aux autres), cest à dire les parties de E\A que tu ajoutes à A.
En faisant des exemples à la main, tu devrais sans trop de problèmes associer une partie de E contenant A à une partie de de E\A. En dénombrement, il faut pas hésiter à regarder sur de petits exemples ;)

Ton raisonnenement est faux car tu ne prends pas en compte les parties contenant des éléments de A (mais pas à tout entier), et des éléments de E\A (la première égalité est fausse).
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Lucaz
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Re: Dénombrement

Message par Lucaz » lun. mai 21, 2018 11:42 am

Ah oui c'est vrai merci bien ça parait assez évident maintenant :)

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