Exercice suite mines-pont

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zadide
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Exercice suite mines-pont

Message par zadide » lun. mai 21, 2018 2:27 pm

Bonjour, je bloque sur l'exo suivant:

Soit u(0) un réel quelconque, on pose u(n+1)=u(n)+exp(-u(n)). Il faut trouver un développement asymptotique 2 termes de u.
Il est facile de montrer que u diverge vers + l'infini. Je vois que u diverge très lentement mais je ne vois pas du tout comment trouver l'équivalent. Une indication svp.
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Zetary
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Re: Exercice suite mines-pont

Message par Zetary » lun. mai 21, 2018 3:19 pm

Salut,

Commence par chercher un équivalent de exp(u(n+1)) - exp(u(n))

BobbyJoe
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Re: Exercice suite mines-pont

Message par BobbyJoe » lun. mai 21, 2018 3:26 pm

On peut procéder avec l'heuristique suivante (appelée analogie discret-continu), on cherche \( \)$f$ lisse telle que \( \)$f(n)\approx u_{n}.$
On peut considérer : \( \)$f'(n)\approx u_{n+1}-u_{n}.$
Compte-tenu de la relation sur la suite initiale, on est alors amener à regarder l'équation différentielle : \( \)$y'=e^{-y} \mbox{ i.e. } (e^{y})'=1.$
Le changement de variables pertinent sur la suite initiale semble être alors \( \)$e^{u_{n+1}}-e^{u_{n}}.$
Vérifions le :
\( \)\begin{align*}
e^{u_{n+1}}-e^{u_{n}} & = e^{u_{n}}(e^{u_{n+1}-u_{n}}-1)\\
& = e^{u_{n}}(e^{e^{-u_{n}}}-1)\\
& = e^{u_{n}}\left( e^{-u_{n}}+o(e^{-u_{n}}) \right) \mbox{ car } \lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n} =+\infty\\
& =1 +o(1).
\end{align*}

En sommant les relations de comparaison, il vient alors \( \)$\displaystyle e^{u_{n}}\sim n$ et en passant au logarithme (ce qui est licite), on obtient $$u_{n}\sim \ln(n).$$

Ensuite, on peut procéder comme au départ en considérant alors \( \)$v_{n}=u_{n}-\ln(n).$

zadide
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Re: Exercice suite mines-pont

Message par zadide » lun. mai 21, 2018 3:54 pm

merci
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Dattier
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Re: Exercice suite mines-pont

Message par Dattier » lun. mai 21, 2018 3:55 pm

Bonjour,
BobbyJoe a écrit :
lun. mai 21, 2018 3:26 pm
On peut procéder avec l'heuristique suivante (appelée analogie discret-continu), on cherche \( \)$f$ lisse telle que \( \)$f(n)\approx u_{n}.$
On peut considérer : \( \)$f'(n)\approx u_{n+1}-u_{n}.$
@Bobby : merci pour le partage.

Cordialement.
Raisonnement empirique : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus

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oty20
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Re: Exercice suite mines-pont

Message par oty20 » mar. mai 22, 2018 4:17 pm

Dans ce cas , la recherche d'un real \( a \) tel que : \( x_{n+1}^{a}-x_{n}^{a} \) converge marche tout aussi bien .



@Bobby : La méthode ne marche pas quand on sait pas calculer une primitive de la fonction , pensez vous que travailler avec une approximation de la primitive , est pertinent ? Merci .
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BobbyJoe
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Re: Exercice suite mines-pont

Message par BobbyJoe » mar. mai 22, 2018 9:17 pm

Cette méthode marche tout le temps dès que la suite a une croissante sous exponentielle...
Il suffit de connaitre un développement asymptotique de l'inverse (un équivalent suffit...), par intégration par parties...
Exemples : \( \)$\displaystyle u_{n+1}=u_{n}+\frac{1}{\ln(u_{n})}$ ou pour \( \)$0<\alpha \leq 1$ et \( \)$u_{0}>0$ : \( \)$\displaystyle u_{n+1}=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{S_{k}^{\alpha}}.$
Modifié en dernier par BobbyJoe le mar. mai 22, 2018 11:52 pm, modifié 1 fois.

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oty20
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Re: Exercice suite mines-pont

Message par oty20 » mar. mai 22, 2018 11:21 pm

Merci beaucoup , parce que je n'arrive pas a l'utiliser dans l'exercice suivant : \( a_{0}(x)=x\in [0,\pi] \) ,
\( a_{n+1}(x)=\sin(a_{n}(x)) \) . On cherche a montrer l'existence d'une application \( \phi(x) \) , de sorte qu'on ait le développement asymptotique uniformément en \( x\in [y , \pi-y] \) avec \( y \in ]0,\frac{\pi}{2}[ \) .

\( \frac{1}{a_{n}^{2}(x)}=\frac{n}{3}+\frac{\ln(n)}{5}+\phi(x)+\frac{3}{25} \frac{\ln(n)}{n} + o(\frac{\ln(n)}{n}) \) .

Des suggestions ?
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