Exercice suite mines-pont

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Exercice suite mines-pont

Message par zadide » 21 mai 2018 14:27

Bonjour, je bloque sur l'exo suivant:

Soit u(0) un réel quelconque, on pose u(n+1)=u(n)+exp(-u(n)). Il faut trouver un développement asymptotique 2 termes de u.
Il est facile de montrer que u diverge vers + l'infini. Je vois que u diverge très lentement mais je ne vois pas du tout comment trouver l'équivalent. Une indication svp.
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Re: Exercice suite mines-pont

Message par Zetary » 21 mai 2018 15:19

Salut,

Commence par chercher un équivalent de exp(u(n+1)) - exp(u(n))

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Re: Exercice suite mines-pont

Message par BobbyJoe » 21 mai 2018 15:26

On peut procéder avec l'heuristique suivante (appelée analogie discret-continu), on cherche $ $$f$ lisse telle que $ $$f(n)\approx u_{n}.$
On peut considérer : $ $$f'(n)\approx u_{n+1}-u_{n}.$
Compte-tenu de la relation sur la suite initiale, on est alors amener à regarder l'équation différentielle : $ $$y'=e^{-y} \mbox{ i.e. } (e^{y})'=1.$
Le changement de variables pertinent sur la suite initiale semble être alors $ $$e^{u_{n+1}}-e^{u_{n}}.$
Vérifions le :
$ $\begin{align*}
e^{u_{n+1}}-e^{u_{n}} & = e^{u_{n}}(e^{u_{n+1}-u_{n}}-1)\\
& = e^{u_{n}}(e^{e^{-u_{n}}}-1)\\
& = e^{u_{n}}\left( e^{-u_{n}}+o(e^{-u_{n}}) \right) \mbox{ car } \lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n} =+\infty\\
& =1 +o(1).
\end{align*}

En sommant les relations de comparaison, il vient alors $ $$\displaystyle e^{u_{n}}\sim n$ et en passant au logarithme (ce qui est licite), on obtient $$u_{n}\sim \ln(n).$$

Ensuite, on peut procéder comme au départ en considérant alors $ $$v_{n}=u_{n}-\ln(n).$

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Re: Exercice suite mines-pont

Message par zadide » 21 mai 2018 15:54

merci
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Re: Exercice suite mines-pont

Message par oty20 » 22 mai 2018 16:17

Dans ce cas , la recherche d'un real $ a $ tel que : $ x_{n+1}^{a}-x_{n}^{a} $ converge marche tout aussi bien .



@Bobby : La méthode ne marche pas quand on sait pas calculer une primitive de la fonction , pensez vous que travailler avec une approximation de la primitive , est pertinent ? Merci .
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Re: Exercice suite mines-pont

Message par BobbyJoe » 22 mai 2018 21:17

Cette méthode marche tout le temps dès que la suite a une croissante sous exponentielle...
Il suffit de connaitre un développement asymptotique de l'inverse (un équivalent suffit...), par intégration par parties...
Exemples : $ $$\displaystyle u_{n+1}=u_{n}+\frac{1}{\ln(u_{n})}$ ou pour $ $$0<\alpha \leq 1$ et $ $$u_{0}>0$ : $ $$\displaystyle u_{n+1}=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{S_{k}^{\alpha}}.$
Dernière modification par BobbyJoe le 22 mai 2018 23:52, modifié 1 fois.

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Re: Exercice suite mines-pont

Message par oty20 » 22 mai 2018 23:21

Merci beaucoup , parce que je n'arrive pas a l'utiliser dans l'exercice suivant : $ a_{0}(x)=x\in [0,\pi] $ ,
$ a_{n+1}(x)=\sin(a_{n}(x)) $ . On cherche a montrer l'existence d'une application $ \phi(x) $ , de sorte qu'on ait le développement asymptotique uniformément en $ x\in [y , \pi-y] $ avec $ y \in ]0,\frac{\pi}{2}[ $ .

$ \frac{1}{a_{n}^{2}(x)}=\frac{n}{3}+\frac{\ln(n)}{5}+\phi(x)+\frac{3}{25} \frac{\ln(n)}{n} + o(\frac{\ln(n)}{n}) $ .

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