Densite de N+piZ dans R

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Densite de N+piZ dans R

Message par BijouRe » 25 mai 2018 19:54

Bonjour,
je rencontre quelque difficulté pour finir la démonstration du résultat : N+piZ dense dans R.
En m'inspirant de la démonstration des sous-groupes de R, j'ai réussi à montrer que si m=inf(N+piZ inter R+*)=0 alors cet ensemble est dense. Mais je n'arrive pas à justifier que le cas m>0 est impossible. Pourriez-vous me donner quelques indications pour pouvoir conclure :)
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Re: Densite de N+piZ dans R

Message par donnerwetter » 25 mai 2018 21:08

Lemme : il existe (p_n/q_n) avec q_n tend vers l'infini telle que |pi-p_n/q_n|<1/q_n^2, et avec cette suite tu trouves m=0 nécessairement.
Dernière modification par donnerwetter le 26 mai 2018 08:33, modifié 1 fois.

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Re: Densite de N+piZ dans R

Message par BijouRe » 26 mai 2018 00:13

Merci pour l'indication, cependant je ne comprend pas pourquoi dans le deuxième cas : N+piZ=mZ ?
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Re: Densite de N+piZ dans R

Message par donnerwetter » 26 mai 2018 00:32

.
Dernière modification par donnerwetter le 26 mai 2018 08:33, modifié 1 fois.

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Re: Densite de N+piZ dans R

Message par BijouRe » 26 mai 2018 01:00

Mais N+piZ n'est pas un groupe ^^
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Re: Densite de N+piZ dans R

Message par donnerwetter » 26 mai 2018 08:32

Excuse 😂

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Re: Densite de N+piZ dans R

Message par Zetary » 26 mai 2018 11:34

Hello ! Le résultat que tu cherches à montrer implique l'irrationalité de pi, qui reste quelque chose de non trivial, donc c'est normal que tu rencontres une difficulté. Vois si tu parviens mieux à conclure en admettant que pi est irrationnel (puis tu pourras chercher à le montrer)

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Re: Densite de N+piZ dans R

Message par Siméon » 26 mai 2018 11:49

Soit $H = \mathbb N + \pi \mathbb Z$ et soit $m =\inf (H \cap \mathbb R_+^*)$. Supposons que $m > 0$.

Par densité de $\mathbb Z + \pi\mathbb Z$ dans $\mathbb R$, on peut trouver $x \in H$ tel que $|x| < m$. De plus $x\neq 0$ car $\pi$ est irrationnel.
Si $x > 0$, alors $x \in H\cap\mathbb R_+^*$ et donc $m \leq x < m$.
Si $x < 0$, alors $0 < x + m < m$ et $m \leq x + m$ car $x + H \subset H$.
Dans tous les cas $m < m$, ce qui est absurde.

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Re: Densite de N+piZ dans R

Message par Siméon » 26 mai 2018 16:40

Je n'ai rien écrit de tel : il suffit de voir que $ m-x $ est un minorant de $H\cap \mathbb R_+^*$ pour en déduire que $m - x \leq m$.

Détails. Soit $h \in H\cap \mathbb R_+^*$. Alors $x + h \in H\cap \mathbb R_+^*$ car $x + h \in H$ et $x + h \geq x + m > 0$. Donc $m \leq x + h$.

P.S. Tout ceci est à peu près évident avec un schéma.

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Re: Densite de N+piZ dans R

Message par BijouRe » 27 mai 2018 13:06

Merci beaucoup pour vos réponses !
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