Probas..

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Modérateurs : JeanN, Michel Quercia

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prepamath
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Probas..

Message par prepamath » sam. mai 26, 2018 3:27 pm

Bonjour, je m'interroge concernant cet exercice de proba :

Soit X vad à valeurs dans N* telle que P(X=k) = \( \alpha \frac{(1-\lambda) }{k}^{k} \) avec \( \lambda \) strictement entre 0 et 1
Déterminer alpha, E(X),V(X) : ça, c'est fait !

Soit \( (X_{n})_{n \geq 0} \) suite de vad de même loi que X et mutuellement indépendantes.

Montrer que pour tout \( \varepsilon > 0 \), \( P(|\frac{X_{1}+...+X_{n}}{X_{1}^{2}+...+X_{n}^{2}}-\lambda |\geq \varepsilon ) \) tend vers 0 quand n tends vers +l'infini.

Jusqu'ici, pour montrer ce genre de chose, je calculais l'espérance de la vad concernée pour me ramener à Bienaymé Tchebychev mais ici ça me parait impossible...(Comment calculer l'espérance de \( |\frac{X_{1}+...+X_{n}}{X_{1}^{2}+...+X_{n}^{2}} \)) En fait, mon souci est que je ne vois pas du tout comment partir...

Merci pour votre aide..
Modifié en dernier par prepamath le sam. mai 26, 2018 5:16 pm, modifié 2 fois.

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Siméon
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Re: Probas..

Message par Siméon » sam. mai 26, 2018 5:00 pm

Indication : si \( \frac{X_1 + \cdots + X_n}{n} \) est proche de $a$ avec grande probabilité, et si $\frac{X_1^2 + \cdots + X_n^2}{n}$ est proche de $b$ avec grande probabilité, alors $\frac{X_1 + \cdots + X_n}{X_1^2 + \cdots + X_n^2}$ est proche de $\frac ab$ avec grande probabilité.

prepamath
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Re: Probas..

Message par prepamath » sam. mai 26, 2018 5:15 pm

Ah ok merci beaucoup : Je vois l'idée car E(X)/E(X²) vaut lambda. Je vais essayer de formaliser

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