Exercice de sup : suite récurrente
Exercice de sup : suite récurrente
Bonjour,
Voici mon exercice :
On considère la suite définie par
$$ u_{n+1}=e^{1-u_{n}} $$
converge-t-elle?
Alors, clairement, je vois que cette suite converge. En dessinant la courbe c'est évident : les termes passent de droite à gauche autour de 1 tout en s'en approchant...
Mais je n'arrive pas à le formaliser...
Merci pour votre aide
Voici mon exercice :
On considère la suite définie par
$$ u_{n+1}=e^{1-u_{n}} $$
converge-t-elle?
Alors, clairement, je vois que cette suite converge. En dessinant la courbe c'est évident : les termes passent de droite à gauche autour de 1 tout en s'en approchant...
Mais je n'arrive pas à le formaliser...
Merci pour votre aide
Re: Exercice de sup : suite récurrente
L'étude de la fonction x --> exp(1-x) - x se passe pas bien?
"On va spontanément d'une situation ordonnée vers une situation désordonnée, c'est la flèche du temps."
Re: Exercice de sup : suite récurrente
Est ce que vous avez vu des résultats sur la monotonie de la suite définie par $ u_{n+1}=f(u_n) $ lorsque $ f $ est croissante?
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP) filière matmeca
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP) filière matmeca
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.
Re: Exercice de sup : suite récurrente
Avec le théorème de la limite monotone ça marche bien non ?
Re: Exercice de sup : suite récurrente
Bonjour
Regarde la partie《suites récurrentes》sur ce lien http://www.les-maths-en-prepas.fr/Exerc ... reChapitre
tu y trouveras des exemples d'études de suites récurrentes, avec passage de ce que l'on voit sur le dessin à une justification théorique.
Bonne journée
Regarde la partie《suites récurrentes》sur ce lien http://www.les-maths-en-prepas.fr/Exerc ... reChapitre
tu y trouveras des exemples d'études de suites récurrentes, avec passage de ce que l'on voit sur le dessin à une justification théorique.
Bonne journée
Re: Exercice de sup : suite récurrente
salut
l'outil numérique permet de voir ce qui se passe et nous guide vers une issue
1/ mis à part son premier terme la suite est positive
2/ $ \dfrac {u_{n + 2}} {u_{n + 1}} = e^{u_n - u_{n + 1}} $ et $ \dfrac {u_{n + 2}} {u_n} = e^{u_{n - 1} - u_{n + 1}} $ (dé)montrent ce que l'on voit :
les sous-suites (de rang) paire et impaire sont monotones et de sens contraires et le sens de monotonie est donné par l'ordre des deux premiers termes (et évident lorsque le premier terme est négatif)
d'ailleurs puisque $ 1 = e^{1 - 1} $ le sens de variation est donné en comparant le premier terme à 1
on aimerait appliquer le théorème des suites adjacentes ... malheureusement la troisième condition ne vient pas ....
et alors il faudra donc utiliser un outil plus puissant comme proposé au-dessus ...
une remarque : si on pose $ f(x) = e^{1 - x} $ alors f est positive et décroissante
et donc h = f o f est croissante et permet d'appliquer aux deux sous-suites les résultats connus et que j'ai redonné :
h croissante et $ v_{n + 1} = h(v_n) $ => (v_n) est monotone
l'outil numérique permet de voir ce qui se passe et nous guide vers une issue
1/ mis à part son premier terme la suite est positive
2/ $ \dfrac {u_{n + 2}} {u_{n + 1}} = e^{u_n - u_{n + 1}} $ et $ \dfrac {u_{n + 2}} {u_n} = e^{u_{n - 1} - u_{n + 1}} $ (dé)montrent ce que l'on voit :
les sous-suites (de rang) paire et impaire sont monotones et de sens contraires et le sens de monotonie est donné par l'ordre des deux premiers termes (et évident lorsque le premier terme est négatif)
d'ailleurs puisque $ 1 = e^{1 - 1} $ le sens de variation est donné en comparant le premier terme à 1
on aimerait appliquer le théorème des suites adjacentes ... malheureusement la troisième condition ne vient pas ....
et alors il faudra donc utiliser un outil plus puissant comme proposé au-dessus ...
une remarque : si on pose $ f(x) = e^{1 - x} $ alors f est positive et décroissante
et donc h = f o f est croissante et permet d'appliquer aux deux sous-suites les résultats connus et que j'ai redonné :
h croissante et $ v_{n + 1} = h(v_n) $ => (v_n) est monotone
Savoir, c'est connaître par le moyen de la démonstration. ARISTOTE